U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

1.4.  Ehtimollikning  xossalari.  Ehtimollikning  ta‟riflariga  va 
hodisalar ustida amallarga asoslanib, ehtimollikning quyidagi xossalarini 
keltiramiz. 
1. Mumkin bo„lmagan hodisaning ehtimolligi nolga teng:       
                                  
               
Isboti: Ma‟lumki,  
                                     
tenglikdan 
                yoki                           
kelib chiqadi. 
2. 
   hodisaga  qarama-qarshi  hodisaning  ehtimolligi  quyidagiga 
teng:  
 ( )           . 
Isboti: 
        ,            bo„lgani uchun 
 (     )        
        ( )     
 ( )            
kelib chiqadi. 
3.  Agar 
        ya‟ni     hodisa     hodisaga  qism  osti  bo„lsa, 
ularning ehtimollari: 
           . 
Isboti: 
  hodisa   hodisaga qism osti bo„lgani uchun,   hodisa   
hodisa  va 
       hodisalarning  hech  bo„lmaganda  birini  ro„y  berishiga 
teng, ya‟ni 
          . Ularning ehtimollari uchun    

---

 
83 
               (     )                         
tenglik o„rinli. Agar 
          ekanligini e‟tiborga olsak,  
            
kelib chiqadi.  
4. Hodisaning ehtimolligi uchun ushbu tengsizlik o„rinli:   
             
5.  (Ehtimollikning  qo‘shishi  teoremasi).  Agar  ikkita 
   va     
birgalikdagi hodisalardan hech bo„lmasa birining ro„y berish ehtimolligi 
bu  hodisalarning  ehtimollari  yig„indisidan  ularning  birgalikda  ro„y 
berish ehtimolligini ayrilganiga teng:  
                              . 
  va    birgalikda bo„lmagan hodisalardan hech bo„lmasa birining 
ro„y berish ehtimolligi bu hodisalarning ehtimollari yig„indisiga teng:  
                      . 
Isboti: 
  va   hodisalar birgalikda bo„lsin. U holda bu hodisalar 
uchun 
            [         ] tenglikni yozish mumkin. Demak,  
                   [         ]                       
kelib chiqadi.  
Endi 
 ,           hodisalarni  birgalikda  bo„lmagan  hodisalar 
yig„indisi ko„rinishida ifodalaylik. Bu hodisalar uchun  
     (     )          ,      (     )           
va 
                    . 
Birgalikdamas hodisalarning ehtimollari uchun 
                     
va 
                     
va     
                                 
tenglik o„rinli ekanligidan   
                    (  )    (  )                  
                      
kelib chiqadi. 
Agar 
  va    birgalikda bo„lmagan hodisalar bo„lsa,  ularning bir 
paytda ro„y berish ehtimolligi nolga tengligi uchun   
                       
tenglik kelib chiqadi.  

---

 
84 
6. Ixtiyoriy 
  va   hodisalar uchun  
                       
tengsizlik o„rinli.  
7.  Ixtiyoriy  
 
 
   
 
       
  
 hodisalar uchun 
  ⋃  
 
    ∑    
 
   
 
   
 
   
∑  ( 
 
 
 
)  
   
  ∑    
 
 
 
 
 
            
   
   
 
 
 
   
 
 
     
 
tenglik o„rinli bo„ladi. Bu tenglik Bul formulasi deyiladi.  
Masalan, uchta hodisa uchun Bul formulasi quyidagicha: 
                                                   
               . 
Bu hodisalarning hech bo„lmasa birining ro„y berishi ehtimolligini 
quyidagi diagramma orqali tasvirlash mumkin: