Tushunchasi

3-misol. a) E : z  2  2, x  i y  2  2, x  2²  y ²  4 - ochiq soha (rasm 4).
y y
x x

b) E :
z  2  2

4-rasm 5-rasm

yopiq soha, (rasm 5).

2. 
   Haqiqiy t argumentli
   

x  x t,

y  y t  t   

uzluksiz funksiyalar

berilgan bo‘lsin. Ular tekislikdagi biror uzluksiz egri chiziqning parametrik tenglamasidan iborat bo‘ladi. Agar (bu egri chiziqdagi) t ning ikkita har xil


Z  

nuqtalar mos kelsa, ya’ni karrali nuqtalarga ega bo‘lmasa bu chiziq Jordan chizig„i deyiladi yoki uzluksiz silliq chiziq deyiladi (6 v-rasm).

Agar

z  x  i y ga

x  x t,

y  y t

ni qo‘ysak

z  x t i y t z t  t   

egri

chiziq tenglamasi hosil bo‘ladi. Bunda parametr t  dan  gacha o‘zgarganda z

nuqta Jordan chizig‘ini chizadi. Agar z   z   bo‘lsa, chiziq yopiq chiziq

deyiladi. Bitta yopiq Jordan chizig‘i bilan chegaralangan soha bir bog‘lamli (6 a- rasm), aks holda ko‘p bog‘lamli soha deyiladi (6 b–rasm).

3. 
   Berilgan
   

z  x  i y

kompleks sonni tekislikda nuqtaga mos keltirish

mumkinligini ko‘rgan edik. Endi har qanday kompleks sonni sferadagi nuqta bilan tasvirlash ham mumkinligini ko‘rsatamiz. Buning uchun sferaning janubiy qutbini xoy tekislikning 0 markazi bilan ustma-ust qo‘yamiz. Mana shu tekislikdagi

z  x  i y nuqtani P shimoliy qutb bilan to‘g‘ri chiziq orqali tutashtirsak, u chiziq

sferani biror Q nuqta tekislikdagi z nuqtaning sferadagi aksi deyiladi. Shu usulda

xoy tekislikning barcha

^zn nuqtalarining ham sferadagi aksini topish mumkin, faqat

P nuqtaning o‘ziga tekislikdagi cheksiz uzoqlashgan

z 

nuqta mos keladi deb

qabul qilinadi. xoy tekislikning va sferaning nuqtalarini yuqoridagidek bir qiymatli moslash stereografik proyeksiya deyiladi.
P x T

Q_n
Z_n

Y

z

Q

7-rasm

3. 
   Biror (Z) kompleks tekisligida E kompleks berilgan bo‘lsin.
   

z  x  i y

sonlar to‘plami

1. 
   ta‟rif. Agar E to‘plamdan olingan har bir
   

z  x  i y

songa biror qonun

bo‘yicha G dan olingan aniq bir wu  i v

kompleks son mos kelsa, E to‘plamda

w  f z funksiya berilgan deyiladi. Bunda z  x  i y argument, wu  i v
esa funksiyadir. E to‘plam
f z
funksiyaning

aniqlanish sohasi deyiladi.

y v

x u
8-rasm 9-rasm

2. 
   ta‟rif. Agar z  x  i y ning har bir qiymatiga w ning birgina qiymati mos
   

kelsa,

w  f z bir qiymatli, aks holda ko‘p qiymatli funksiya deyiladi.

Masalan,

w  z ² ,

w  ¹ ,

2

w  2 z ³ ,...

• 
  bir qiymatli, w 
  

z , w  ⁴ z , w  ¹

,… - ko‘p qiymatli funksiyalardir.

Agar z ning qiymatlariga tegishli nuqtalarni (Z) tekisligida, w ning qiymatlariga tegishli nuqtalarni (W) tekisligiga joylashtirsak, (Z) tekisligidagi E to‘ plamdan olingan har bir z nuqta (W) tekisligidagi w nuqtaga mos keladi. Natijada E to‘plamning aksi (W) tekislikka tushib, biror G to‘plamni hosil qiladi. Bunga esa,

w  f z funksiya yordamida to‘plamni G to‘plamga akslantirish deyiladi.

1. misol.

w  z ²

funksiya yordami bilan (Z) tekisligidagi

z 1 chiziqning (W)

tekisligidagi aksi topilsin.

Yechish. wu  i v,

u  x²  y² , v  2 x y,
w z ² x  i y²  x²  y ²  2 x yi

u²  v² x²  y² 2 2 x y²  x²  y² 2 

z ⁴ 1

y v

x u
10-rasm 11-rasm

2. misol.

w  z ²

funksiya yordami bilan (Z) tekisligidagi

y  k x

to‘g‘ri

chiziqning (W) tekisligidagi aksi topilsin.

Yechish.

y  k x ,

w  z ²

u  x²  y² , v  2 x y, y  k x

^_u  x²  k ² x²  x² 1 k ² 

u 1 k ²

1 k ²



^_v  2 x  k x  2 k x²

  ; u 

v 2 k 2 k

Agar k = 2 bo‘lsa, u holda 12 va 13 rasmga ega bo‘lamiz.

y v

x x

12-rasm 13-rasm

4. 
   Biror E – kompleks sohada nuqta berilgan bo‘lsin.
   

w  f z

funksiya berilgan bo‘lib,

z₀ E

1. 
   ta‟rif. Agar oldindan berilgan har qanday kichik
   

  0

son uchun shunday

musbat

   0

sonni topish mumkin bo‘lsaki,

z  z₀ 

  bo‘lganda

f z A 

o‘rinli bo‘lsa, yoziladi:

f z

funksiya A o‘zgarmas songa intiladi deyiladi va quyidagicha

lim

z  z₀

f z A

(1)

2. 
   ta‟rif. Agar oldindan berilgan har qanday kichik musbat
   

  0

son uchun

shunday musbat

  0

sonni topish mumkin bo‘lsaki, bunda

z  z₀ 

o‘rinli

bo‘lganda,

f z f z₀  

tengsizlik o‘rinli bo‘lsa,

f z

funksiya

z₀ nuqtada

uzluksiz deyiladi va quyidagicha yoziladi:

lim

z  z₀

f z f

z₀ 

(2)

Bu geometrik jihatdan w  f z funksiya

z₀ nuqtada uzluksiz bo‘lsa, (Z)

tekisligidagi markazi z₀ nuqtada, radiusi

  

ga teng bo‘lgan doira nuqtalari, w

tekislikdagi markazi ko‘rsatadi.

w₀ nuqtada, radiusi  bo‘lgan doira nuqtalariga o‘tishini

3. 
   ta‟rif. Sohaning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lgan funksiyalar shu sohada
   

uzluksiz deyiladi.

Kompleks o‘zgaruvchili funksiyaning limiti va uzluksizligi ta’riflari haqiqiy o‘zgaruvchining limiti va uzluksizligi ta’rifiga o‘xshash bo‘lgani uchun uzluksiz funksiyaning xossalari, ular bilan bajariladigan amallar, ular haqidagi teoremalar va ularning isboti ham haqiqiy o‘zgaruvchili funksiyalar isbotlari kabi bo‘ladi.

Uzluksizlikni quyidagicha ham ta’riflash mumkin:

wz f z,

w₀  f z,

z  x  i y, z₀  x₀  i y₀ ,  x  x  x₀ ,  y  y  y₀ , bo‘lsa,

 z  z  z₀  x  i  y va

 w f z f z₀  funksiya orttirmasi bo‘ladi.

4. 
   ta‟rif. Agar haqiqiy kichik musbat
   

  0
uchun shunday    0 son

topish mumkin bo‘lsa,  z    bo‘lganda

W 

o‘rinli bo‘lsa, f z funksiya

z₀ nuqtada uzluksiz deyiladi va quyidagicha yoziladi

lim

 z  0

W  0

(3)

Agar

^{z  x0  i y0 f z f z0 u x, yu x0 , y0  i v x, y v x0 , y0 } bo‘ladi va

f z f z₀  

4-ta’rifdan quyidagi tengsizliklar kelib chiqadi

u x, y u x₀ , y₀   _

2. 
   
   

2. 
   (5)
   






v x, y v x₀ , y₀  

Demak, u x, y va v x, y funksiyalar x₀ , y₀  nuqtada uzluksiz ekan.

1. misol.

w  z ²

funksiya ixtiyoriy

z₀ nuqtada uzluksizmi?

Yechish.

 wz₀

 z²  z ²  2 z

 z  z²

0
lim

 z 0




0
W  lim 2 z

 z 0

 z   z²  2 z

lim

0
 z 0

 z  lim  z²  0

 z 0

5. 
   
   
   1. Darajali funksiya: w  zⁿ
   

1. 
   n – natural son bo‘lsa,
   

nN,

^{w zn  rnein} ;

2. 
   n  ¹
   

q

• 
  kasr son bo‘lsa
  

w  ^q

z  ^{q }

  2 k _{ i sin}   2 k  _,

k  0, 1,

 2,...


r _cos

_ q q _

q ta ildizga ega.

2. Ko„rsatkichli funksiya:

Biz

w  zⁿ

bo‘lgan hol bilan ko‘proq ish ko‘ramiz, ya’ni

w e^z  e^{x i y}  e^x cos y  i sin y bundan

1. 
   ^{ez2 i  exi y2 i  ex cos y  2  i sin y  2  ex ei y  ez}
   

, ya’ni

w  e^z

funksiya

2 i

sof mavhum davrli. Bu haqiqiy sonlar nazariyasidagi ko‘rsatkichli

funksiyadan farqli demakdir.

2. 
   _e^{z1 z 2} _{ e}^z1 _{ e}^{z 2} _{; v) e}z1 z 2 _{ e}z1 _{/ e}z 2 _{; g) e} z _^m _{ e}z m
   

mos bo‘ladi.

2. Logarifmik funksiya:

^{w  ln z} .