Turli foizlarni hisoblash va ularni qishloq xo‘jalik masalalarini echishga tatbiqlari. Oddiy foiz masalalarini yechish

Argument va funksiya orttirmalari.

y= f(x) funksiya x va x₁ nuqtalarda aniqlangan bo’lsin. x₁ – x ayirma argumentning x₁ nuqtadagi orttirmasi, f(x₁) - f(x₂) ayirma esa funksiyaning x₁ nuqtadagi orttirmasi deyiladi.

Argument orttirmasi Δx, funksiya orttirmasi Δf yoki Δy ko’rinishda belgilanadi. Demak, Δx = x₁ – x, bundan x₁= x + Δx;

Δf = f (x₁) – f(x) = f (x + Δx) – f (x)

1-misol: y = x³ funksiyaning argument qiymati x dan x + Δx ga o’tgandagi orttirmasi toping.

Yechish: f(x) = x³, f ( x + Δx) = (x + Δx)³

Demak, Δf= f (x +Δx) – f (x) = (x+ Δx)³ – x³= x³ + 3x² Δx + 3 · x · (Δx)² + (Δx)³ – x³ = 3 x² Δx + 3 xΔx² + (Δx)³ . Shunday qilib,

Δf=(3x²+3x Δx+( Δx) Δx

Bu formuladan foydalanib x va Δx ning ixtiyoriy berilgan qiymatlari uchun f ning qiymatini hisoblash mumkin. masalan, x = 2, Δx=0,1 bo’lganda Δf = f (2,1) – f (2) = (3 · 2² + 3 · 2 · 0,1 + 0,1²) 0,1 = 1,261

2 – m i s o l. y = kx +b chiziqli funksiya uchun k = _ tenglik o’rinli bo’lishini isbotlang.

I s b o t . f (x) = kx + b; f (x + Δ) = k (x + Δ x) + b;

Δf = f (x + Δx) - f(x) = k (x +Δx) + b – (kx+b) = kΔx

Bundan _= k

ekani kelib chiqadi.

Isbotlangan tenglikning geometrik ma’nosi chizmada keltirilgan.

y = f (x) funksiya x nuqta va uning biror atrofida aniqlangan bo’lsin (nuqtaning atrofi deb shu nuqtani o’z ichiga oluvchi yetarlicha kichik radiusli oraliqqa aytiladi).

Δx – argumentning shunday orttirmasiki, x + Δx nuqta x nuqtaning atrofiga tegishli bo’ladi; Δf esa funksiyaning shu orttirmaga mos orttirmasi, ya’ni Δf = f(x+Δx)-f(x) bo’lsin.

Agar funksiya Δf orttirmasining argumentning Δx orttirmasiga bo’lgan nisbatning argument orttirmasi nolga intilgandagi limiti mavjud bo’lsa, y = f (x) funksiya x nuqtada differensialanuvchi funksiya deyiladi. Bu limitning qiymati y = f(x) funksiyaning x nuqtadagi hosilasi deyiladi va f ‘(x), Y’ ko’rinisda belgilanadi, ya’ni

f’(x) = y’ = _

bu yerda f’(x) yangi funksiya bo’lib, yuqoridagi limit mavjud bo’lgan barcha nuqtalarda aniqlangan;

bu funksiya y = f (x) funksiyaning h o s i l a s i deb ataladi.

1 – m i s o l. agar f (x) = x² bo’lsa f’(2) ni toping.

Y e c h i s h: 11 f (2) = 2² = 4, f (2+Δx) = (2 + Δx)², Δf = f (2 + Δx)² – 4 = 4 Δ x + (Δx)².

_

yoki

_

demak, f’(2)=4

Xuddi shunga o’xshash f’(x)= 2x bo’lishini ko’rsatish mumkin.

Funksiyaning nuqtadagi va kesmadagi uzluksizligi.

Uzilish nuqtalarinning klassifikasiyasi.

Hosilani ta'rifi.

Hosila jadvali. Funksiya hosilalarini hisoblash qoidalari.

Murakkab funksiyaning hosilasi.

Turli foizlarni hisoblash va ularni qishloq xo‘jalik masalalarini echishga tatbiqlari.

Yuqori tartibli hosilalar.

Leybnis formulasi.

Funksiya differensiali va uni taqribiy hisoblashlarga qo’llanilishi.

Funksiyalarni hosila yordamida tekshirish.

Funksiyaning monotonlik oraliqlarini topish.

Ektremum mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari.

Funksiyani to’la tekshirib, shaklini chizish.

Boshlang’ich funksiya va aniqmas integral.

Aniqmas integralni hossalari.

Integrallash jadvali.

Integrallash usullari: bevosita, o’zgaruvchilarni almashtirish.

Bo’laklab integrallash va trigonometrik funksiyalarni integrallash.

Aniq integralga olib keluvchi masalalar.

Aniq integralni xossalari.

Nyuton Leybnis formulasi.

Aniq integrallarni hisoblash usullari.

Aniq integral yordamida yuzalarni hisoblash.

Aniq integral yordamida aylanma jismlarni hajmini hisoblash.

Differensial tenglama. Asosiy tushunchalar. Koshi masalasi.

Birinchi tartibli o’zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar.

Birinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar.

O’zgarmas koeffisientli ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar.

Ehtimollar nazariyasini asosiy tushunchalari. Ehtimolni klassik, statistik ta'riflari.

Ehtimollarni qo’shish va ko’paytirish teoremalari.

To’la ehtimol va Bayes formulalari.

Boqliq bo’lmagan tajribalar ketma-ketligi.

Bernulli, Muavr-Laplasning lokal va integral teoremalari. Puasson formulasi.

Tasodifiy miqdor. Diskret tasodifiy miqdor va uni taqsimot qonuni.

Diskret tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari.

Uzluksiz tasodifiy miqdor. Uzluksiz tasodifiy miqdorning sonli xarakterist ikalari.

Normal taqsimot va uni tatbiqlari.

Matematik statistikani asosiy tushunchalari.

Tanlanmaning statistik taqsimoti va uni geometrik izohlash.

Taqsimot parametrlarini statistik baholari.