Turli foizlarni hisoblash va ularni qishloq xo‘jalik masalalarini echishga tatbiqlari. Oddiy foiz masalalarini yechish

Funksiya differensiali va uni taqribiy hisoblashlarga qo’llanilishi.

Agar _ funksiya _ nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, ya’ni o’sha nuqtada chekli _ hosilaga ega bo’lsa, u holda

bo’ladi, bunda _ da _. Bundan

kelib chiqadi.

Demak, funksiya orttirmasi ikkita qo’shiluvchidan iborat bo’lib, uning birinchi qo’shiluvchisi _ ga nisbatan chiziqli ifoda, ikkinchi qo’shiluvchi esa yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor ekan.

Funksiya orttirmasi _ ning _ga nisbatan chiziqli bo’lgan bosh qismi _ funksiyaning differensiali deyiladi va _ bilan belgilanadi. Ya’ni _.

Agar bu formulada _ deb olsak, u holda _{ } ga ega bo’lamiz. Shuning uchun ham

<sub>

</sub> tenglikdan _ ekani, ya’ni yetarlicha kichik _ uchun funksiya orttirmasi uning differensialiga taqribiy teng ekani kelib chiqadi.

Funksiya orttirmasini funksiya differensiali bilan almashtirgandagi absolyut xatolik _ ga va nisbiy xatolik

_

ga teng bo’ladi.

Har qanday differensiallanuvchi _ va _ funksiyalar uchun quyidagilar o’rinlidir:

1. _

2. _.

_. _, _.

Funnksiya diffferensialining _ ifodasidan foydalanib ko’p uchrab turadigan funksiyalarning differensiallari jadavalini keltiramiz:

_ funksiyaning differensiali _ ning _ nuqtadagi differensiali berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali deb ataladi va _ yoki _ kabi belgilanadi. Demak,

Funksiyaning uchinchi,to’rtinchi va hokazo tartibli differensiallari ham xuddi shunga o’xshash ta’riflanadi. Ya’ni,

_.

Funksiyaning differensialidan taqribiy hisoblashlarda foydalanish mumkin. Bunda biz argument orttirmasi _ juda kichik son bo’lganda funksiya differensiali _va funksiya orttirmasi qiymatlari bir–biriga yaqin, ya’ni

bo’lishidan foydalanamiz.

Funksiyalarni hosila yordamida tekshirish.

Funksiyani tekshirish va grafigini yasash quyidagi umumiy chizma bo‘yicha bajariladi:

1) Funksiyaning aniqlanish sohasi topiladi.

2) Funksiya juft , toqligi yoki juft ham emas, toq ham emasligi aniqlanadi. Agar funksiyaning juft yoki toqligi aniqlansa, funksiyani musbat yoki manfiy haqiqiy sonlar yarim o‘qida tekshirish yetarli.

Agar funksiya juft bo‘lsa, bu funksiyaning grafigi Oy o‘qiga nisbatan simmetrik, toq bo‘lsa koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo‘ladi.

3) Davriy yoki davriy emasligi aniqlanadi. Davriy funksiyani bir davr oralag‘ida tekshirish yetarli.

4) Funksiya grafigining koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalari topiladi. Ox o‘qi bilan kesishish nuqtalari chizma, Oy o‘qi bilan kesishish nyqtalari esa chizmani yechish bilan topiladi. Funksiya grafigining asimptotalari quriladi.

5) Uzilish nuqtalari aniqlanadi va ularning atrofida funksiyaning o‘zini tutishi tekshiriladi. Funksiyanig og’ma asimptotasi

() tekshiriladi

6) Funksiyaning o‘sish va kamayish intervallari, maksimum va minimum nyqtalari topiladi.

7) Funksiya grafigining qavariqligi va egilish nuqtalari topiladi.

8) Yig‘ilgan ma’lumotlar jadval ko‘rinishida tuziladi.

9) Funksiya grafigi yasaladi.
27.1. Quyidagi berilgan funksiyani tekshirib, grafigini chizing:

berilgan funksiya D={(-∞;-1)(-1;1)(1;+ ∞)} to‘plamda aniqlangan.

Bu funksiya uchun f(-x)=f(x) bo‘lganidan u juftdir va uni [0;+∞] oraliqda tekshirish kifoya.

Funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari:

Birinchi tartibli hosila [0;+∞) oraliqning x=1 nuqtasidan boshqa barcha nuqtalarida aniqlangan va x=0 nuqtada nolga aylanadi. Ikkinchi tartibli hosilaning x=0 nuqtadagi qiymati ?``(0) =-4<0, shuning uchun ?(x) funksiya x=0 nuqtada maksimumga ega va bu maksimum qiymat f(0)= -1 bo‘ ladi.