|
Matematik mayatnik – fizik mayatnikning xususiy holi bo’lib, og’irligi hisobga olinmaydigan uzunlikdagi ipga osilgan massali moddiy nuqta (8.5-rasm).
8.5-rasm. Matematik mayatnik
Ip vertikaldan burchakka siljitilsa, massali moddiy nuqtaning inersiya momenti ga teng bo’ladi. Inersiya momenti formulasini (8.15) ga o’rniga qo’ysak, matematik mayatnikning tebranish davri ifodasiga ega bo’lamiz:
(8.16)
Jism bir vaqtda bir yo’nalish va turli yo’nalishlar bo’ylab sodir bo’layotgan bir necha tebranishlarda ishtirok etish mumkin.
Yo’nalishlari va chastotalari bir xil bo’lgan ikkita garmonik tebranishlarning qo’shilishini qarab chiqaylik. Tebranuvchi jismning siljishi quyidagidek ko’rinishga ega bo’lgan va siljishlarning yig’indisidan iborat:
(8.17)
Bu ikki tebranishlarni vektorlar diagrammasi orqali qo’shamiz (8.6-rasm).
8.6 - rasm. Garmonik tebranishning vektor diagramma orqali grafik tasviri
Natijaviy vektorni proyeksiyasi qo’shiluvchi vektorlar qo’shiluvchi vektorlar proyeksiyalari yig’indisiga teng, ya’ni .
Demak, vektor natijaviy tebranishdan iborat. Bu vektor ham va vektorlar kabi aylanadi. Shuning uchun natijaviy harakat chastotasi , amplitudasi va boshlang’ich fazasi bo’lgan garmonik tebranishdan iborat bo’ladi. Grafikdan ko’rinib turibdiki,
(8.18)
(8.19)
Shunday qilib, garmonik tebranishlarni vektorlar yordamida tasvirlash usuli bir necha tebranishlarni qo’shish operatsiyasini vektorlarni qo’shish operatsiyasiga keltirishga imkon berar ekan.
(8.18) ifodaga muvofiq agar tebranishlar fazalari ayirmasi nolga teng bo’lsa, natijaviy tebranishning amplitudasi bo’ladi. Agar ayirma yoki ga teng bo’lsa natijaviy tebranish amplitudasi ga teng bo’ladi.
Agar va tebranishlarning chastotalari har xil bo’lsa, va vektorlar har xil tezlik bilan aylanadi. Bunday holda natijaviy vektorning kattaligi pulsatsiyalanib turadi va o’zgaruvchan tezlik bilan aylanadi. Erkin tebranishlarda tizim tashqi kuchlar tomonidan muvozanat holatidan chiqqan va unga faqat kvazielastik kuch bilan muhitning qarshilik kuchita’sir qilayotgan holatda bo’ladi. Kichik tebranishlarda tizimning tezligi ham kichik bo’ladi va qarshilik kuchi tezlikka proporsional bo’ladi:
(8.20)
bu yerda qarshilik koeffisiyenti deyilib, “–” ishora va qarama-qarshi yo’nalganligini bildiradi.
Tebranayotgan jism uchun Nyutonning ikkinchi qonuniga asosan:
.
Bundan,
Agar va kabi belgilashlar kiritsak,
(8.21)
(8.20) tenglama so’nuvchi tebranma harakatning differensial tenglamasi deyiladi. Bu yerda tebranayotgan tizimning xususiy tebranish chastotasi, so’nish koeffisiyenti deyiladi. (8.20) tenglamaning yechimi
(8.22)
ko’rinishda bo’ladi. Bu yerda , ga teng bo’lganligi uchun (8.22) tenglamani quyidagicha yozish mumkin (8.7-rasm):
(8.23)
8.7-rasm. So’nuvchi tebranish
Umuman olganda, bir davrga farq qiladigan vaqt momentlariga tegishli amplitudalarning nisbati quyidagiga teng bo’ladi:
.
Bu nisbat so’nish dekrementi, uning logarifmi esa so’nishning logarifmik dekrementi deyiladi:
(8.24)
Tebranish tizimini tavsiflash uchun ko’pincha tebranish tizimining aslligi deb ataluvchi
(8.25)
Kattalikdan foydalaniladi. Konturning aslligi uning ta’rifiga ko’ra tebranishlar amplitudasi marta kamayishi uchun ketgan vaqt ichidagi tizimning tebranishlari soniga teng ekanligi ko’rinib turibdi.
Tebranuvchi tizimga davriy o’zgaruvchi tashqi kuch ta’sirida sodir bo’luvchi tebranishlar majbur etuvchi kuch vaqt bo’yicha garmonik
(8.26)
qonun bo’yicha o’zgaradi deb faraz qilaylik.
Tebranuvchi tizimga ta’sir ko’rsatadigan kvazielastik va muhitning qarshilik kuchlarini hisobga olgan holda harakat tenglamasini quyidagicha yozish mumkin:
.
Bu tenglamani ikkinchi darajali chiziqli differensial tenglama ko’rinishiga keltiramiz:
(8.27)
bu yerda so’nish koeffisiyenti, tebranuvchi tizimning xususiy chastotasi.
Differensial tenglamalar nazariyasidan ma’lumki, bir jinsli bo’lmagan tenglamaning umumiy yechimi bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi bilan bir jinsli bo’lmagan tenglamaning xususiy yechimi yig’indisiga teng:
(8.28)
Bu yerda , .
Tebranishning amplitudasi va fazasi tizimning va parametrlariga bog’liqdir. va ning aniq qiymatlarida chastotani o’zgartirib amplitudaning maksimal qiymatiga erishish mumkin.
bo’lganda majburiy tebranishlar amplitudasining birdaniga oshishi hodisasi - rezonans hodisasi deb ataladi.
Rezonans hodisasi sodir bo’ladigan chastota rezonans chastotasi deb ataladi.
8.8-rasmda majburiy tebranishlar amplitudasi tashqi kuchning chastotasiga bog’liq egri chiziqlari - rezonans chiziqlari keltirilgan.
8.8-rasm. Majburiy tebranishlar amplitudalarining rezonans chiziqlari
Rezonans chastotasi -so’nish koeffitsiyentiga bog’liq va bo’lganda, , ga intiladi. qancha kichik bo’lsa, egri chiziq shuncha yuqoriga ko’tariladi va o’tkir xarakterga ega bo’ladi. Natijada, rezonans chastotasi tizimning xususiy chastotasiga yaqinlashadi.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
