Tub va murakkab sonlar

7. ctg x ≥ a
πk ≤ x ≤ arcctg a+πk.
8. ctg x ≤ a
arcctg a+πk ≤ x ≤ πk.

Misol: sin x > 0.5 tengsizlikni yeching.
Yechish:
arcsin 0.5 + 2πk < x < π-arcsin 0.5 + 2πk,
π/6 + 2πk < x < 5π/6 + 2πk, k-butun son.
Javob: π/6 + 2πk < x < 5π/6 + 2πk, k-butun son.

O'rta qiymatlar

1. O'rta arifmetik qiymat:

2. O'rta geometrik qiymat:

3. O'rta garmonik qiymat:

4. O'rta kvadratik qiymat:

5. O'rta vazn qiymat:

6. O'rta proporsional qiymat:

Butun sonlar ustida amallar

Butun sonlar toʻplami Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
1. Butun sonlarni qoʻshish qoidasi:
a) Bir xil ishorali sonlarni qoʻshish uchun ularning modullarini qoʻshib, soʻngra, yigʻindi oldiga qoʻshiluvchilarning ishorasi qoʻyiladi.
Masalan
1) -4+(-7)=-11
2) +8+(+9)=+17
Odatda + ishora qoʻyilimaydi va ikkinchi misol 8+9=17 kabi yoziladi.
3) -45+(-38)=-83
b) Har xil ishorali sonlarni qoʻshish uchun ularning moduli kattasidan moduli kichigini ayirib, ayirma oldiga moduli kattasini ishorasini qoʻyiladi.
Masalan
1) -4+(+7)=+3=3
Bu misol bunday yozilishi mumkin: -4+7=3
2) -7+5=-2
3) 57+(-45)=12
4) 32+(-70)=-38

2. Butun sonlarni ayirish qoidasi:

Butun sonlarni ayirish uchun kamayuvchiga "ayriluvchiga qarama-qarshi" sonni qoʻshish kerak.
Masalan
1) -9-(-6)=-9+6=-3
2) -12-5=-12+(-5)=-17
3) 21-34=21+(-34)=-13
4) 31-(-10)=31+10=41

Qisqa ko'paytirish formulalari

1. Yig'indining kvadrati:
(a+b)²=a²+2ab+b²
2. Ayirmaning kvadrati:
(a-b)²=a²-2ab+b²
3. Kvadratlar ayirmasi:
a²-b²=(a-b)(a+b)
4. Yig'indining kubi:
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
5. Ayirmaning kubi:
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
6. Kublar yig'indisi:
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
7. Kublar ayirmasi:
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

8. Yig'indi va ayirmaning kvadratlari formulalaridan a²+b²=(a+b)²-2ab yoki a²+b²=(a-b)²+2ab ni hosil qilish mumkin.

9.

10.

11.

12.

13.

14. n - istalgan natural son uchun:

15. n - musbat juft son uchun:

16. n - musbat toq son uchun:

17. Nyuton binomi formulasi: