Trigonometrik funktsiyalar va ularning xossalari Trigonometriya asoslari: agar ikkita bo'lsa

Differentsial tenglamalar orqali ta'rif

Sinus va kosinus noyobdir farqlanadigan funktsiyalar shu kabi

Ushbu tenglamalarni differentsiallashtirib, sinus va kosinusning echimlari ekanligi aniqlanadi differentsial tenglama

Qo'llash Qoidalar tangensni kosinus tomonidan sinusning bo'lagi sifatida belgilashga, tangens funktsiyasi tekshiriladi

Quvvat seriyasining kengayishi

Differentsial tenglamalarni quvvat seriyasi noaniq koeffitsientlar bilan xulosa chiqarish mumkin takrorlanish munosabatlari ning koeffitsientlari uchun Teylor seriyasi sinus va kosinus funktsiyalarining. Ushbu takroriy munosabatlarni echish oson va ketma-ket kengayishlarni beradi^[12]

The yaqinlashuv radiusi Ushbu seriyalar cheksizdir. Shuning uchun sinus va kosinusgacha cho'zilishi mumkin butun funktsiyalar ("sinus" va "kosinus" deb ham ataladi), ular (ta'rifi bo'yicha) murakkab qiymatli funktsiyalar ular aniqlangan va holomorfik umuman olganda murakkab tekislik.
Butun funktsiyalarning kasrlari sifatida aniqlanadigan boshqa trigonometrik funktsiyalarga kengaytirilishi mumkin meromorfik funktsiyalar, bu butun kompleks tekislikda holomorf bo'lgan funktsiyalar, faqat ba'zi bir izolyatsiya qilingan nuqtalardan tashqari qutblar. Bu erda qutblar shaklning raqamlari  tangens va sekant uchun yoki  kotangens va kosekant uchun, qaerda k ixtiyoriy butun son.
Qaytalanishlar munosabatlari koeffitsientlari uchun ham hisoblanishi mumkin Teylor seriyasi boshqa trigonometrik funktsiyalar. Ushbu seriyalar cheklangan yaqinlashuv radiusi. Ularning koeffitsientlari a kombinatorial talqin: ular sanab o'tishadi o'zgaruvchan almashtirishlar cheklangan to'plamlar.^[13]
Aniqrog'i, belgilash
U_n, nth yuqoriga / pastga raqam,
B_n, nth Bernulli raqamiva
E_n, bo'ladi nth Eyler raqami,
bittasida quyidagi qator kengayishlar mavjud:^[14]