Тўпламлар назариясининг асосий элементлари

4-теорема. Рационал сонлар тўплами Q саноқлидир.

Бутун коэффициентли кўпхаднинг илдизи алгебрик

сон дейилади.
5-теорема. Алгебрик сонлар тўплами саноқлидир.
Чексиз тўпламни Дедекинд (Рихард Дедекинд-немис математиги, 1831-1916) маoносидаги таърифини келтирамиз.
Таъриф. Тўпламни чексиз дейилади, агар унга эквивалент бўлган тўғри қисмий тўпламмавжуд бўлса.
Ҳар қандай чексиз тўпламҳам саноқли тўпламбўлади деб айтиб бўлмайди.
Кантор теоремаси. U=[0,1] сегмент саноқсиздир.
(Георг Кантор-машҳур немис математиги, тўпламлар назариясининг асосчиси, 1845-1918).
А тўпламнинг қувватини кўринишда ёзилади. Чекли тўпламнинг қуввати учун унинг элементлари сони олинади. Масалан,
А={а₁, а₂, ..., а₂₅}
бўлса =25. =а, =c символлар билан белгиланади, ва а<с бўлади.

Тўпламлар назариясининг асосий элементлари.

Тўпламтушунчаси математик анализнинг асосий тушунчаларидан биридир. Тўпламга таҳриф берилмайди. Уни мисолларда қуйидагича баён этиш мумкин: натурал сонлар тўплами, 3 га каррали бўлган сонлар тўплами, берилган тенгламанинг илдизлари тўплами, университетимиз талабалари тўплами ва ҳоказо, шу билан бирга натурал тўпламнинг элементи тушунчаси ҳам киритилади.Масалан, ҳар қандай натурал сон натурал сонлар тўпламининг элементи, 3 га каррали сон 3 га карррали сонлар тўпламининг элементи бўлади.

Математикада одатда тўпламни лотин алифбосининг бош ҳарфлари билан, яҳни A,B,C,… кўринишда, элементини эса кичик a,b,c,… ҳарфлар билан белгилаш қабул қилинган. a элементни А тўпламга тегишли эканлигини кўринишда ёзилади. (ўқилиши a А тўпламга тегишли ёки А тўплама ни ўз ичига олади),  - белги element сўзининг биринчи ҳарфи. Агар а А тўпламга тегишли бўлмаса, ( ) кўринишда ёзилади. Масалан, агар А жуфт сонлар тўплами бўлса, у ҳолда 10А ва 17А бўлади. Тўпламнинг ўзи ҳеч вақт шу тўпламга тегишли бўламайди, яҳни АА.
Агар тўпламбиронта ҳам элементга эга бўлмаса, ундай тўпламни бўш тўпламдейилади ва уни  символ билан белгиланади. Масалан, х²+х+1=0 тенгламанинг ҳақиқий илдизлари тўплами бўшдир.
Тўпламлар устидаги асосий амаларни келтирамиз.
1-таъриф. А ва В қандайдир иккита тўпламбўлсин. Агар А тўпламнинг ҳар бир элементи В тўпламнинг ҳам элементи бўлса, у ҳолда А тўпламВ тўпламнинг қисми (ёки тўпламостиси) дейилади ва буни АВ (ёки В А) кўринишда ёзилади. Бу ерда  белги қисмэканлигини билдирувчи белги.
Масалан, А мусбат жуфт сонлар тўплами, N натурал сонлар тўплами бўлса, АN бўлади.
Аниқки, ҳар қайси тўпламўзига ўзи қисм бўлади, яъни АА дир.
Бўш тўпламҳар қандай тўпламнинг қисмидир.
2-таъриф. Агар А В ва В А бўлса, у ҳолда А ва В тўпламлар тенг дейилади, ҳамда А=В кўринишда ёзилади.
Масалан, А=5,7 ва В эса х²-12х+35=0 тенгламанинг илдизлари тўплами бўлса, у ҳолда А=В бўлади.
3-таъриф. Агар С тўпламА ва В тўпламларнинг элементларидан-гина ташкил топган бўлиб, бошқа элементлари бўлмаса, у ҳолда С тўпламА ва В тўпламларнинг йиғиндиси (бирлашмаси) дейилади ва буни С=АВ кўринишда ёзилади. Бу ерда  - бирлашма, йиғинди белгиси.
Агар А В бўлса, АВ=В бўлади. АА=А дир.
Масалан, А=1,3,5,7, В=1,2,3,4 бўлса, С= АВ=1,2,3,4,5,7 бўлади.