Тўпламлар назариясининг асосий элементлари

6-таъриф. Агар А тўпламнинг ҳар бир аА элементи учун В тўпламдан фақат ва фақат битта bВ элемент мос келса ва аксинча бўлса, у ҳолда Ава В тўпламларнинг элементлари орасида ўзаро бир қийматли мослик ўрнатилган дейилади.
7-таъриф. Агар А ва В тўпламлар элементлари орасида ўзаро бир қийматли мослик ўрнатилган бўлса, ундай тўпламларни эквивалент тўпламлар дейилади ва А~В кўринишда ёзилади. Бу таъриф ўринли бўлган ҳолда А ва В тўпламлар бир хил қувватга эга ҳам дейилади.
Аниқки, агар иккита тўпламбир хил сондаги элементлардан иборат бўлса, улар эквивалент бўлади.
Чексиз эквивалент тўпламлар учун мисоллар келтирамиз.

1-шакл 2-шакл 3-шакл

3-шаклдан кўринадики, катет гипотенузадан қисқа (кичик) бўлса ҳам А~В дир.

Агар АВ, АВ=В ёки АВ=А бўлса, у ҳолда А тўрламни В тўпламнинг тўғри қисми дейилади ва АВ каби белгиланади.

Ҳеч қайси чекли тўпламўзининг қисмига эквивалент бўлаолмайди, лекин чексиз тўпламўзининг тўғри қисмига эквивалент бўлиши мумкин.
Мисол. N натурал сонлар тўплами, М мусбат жуфт сонлар тўплами бўлса, М N, М  N, М~N ,бўлади.М тўпламN тўпламнинг тўғри қисмидир.
8-таъриф. Айтайлик N татурал сонлар тўплами бўлсин :
N=1,2,3,........,n,...
Агар ҳар қандай А тўпламN тўпламга эквивалент бўлса, у ҳолда А тўпламни саноқли тўпламдейилади.
Аниқки, ҳамма саноқли тўпламлар эквивалентдир.
Мисоллар:
А= 1,4,9,........,n²,..,
В=1,8,27,........,n³,..,
С=1,3,5,........,2n-1,...
Саноқли тўпламларга оид баoзи теоремаларни исботсиз келтирамиз
1-теорема. А тўпламсаноқли бўлиши учун унинг элементларини номерлаш зарур ва етарлидир.
2-теорема. Ҳар қандай чексиз тўпламдан саноқли қисмий тўпламни ажратиш мумкин.
3-теорема. Бир-бири билан кесишмайдиган саноқли сондаги саноқли тўпламларнинг йиғиндиси саноқли тўпламдир.