|
Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning Teylor teoremasi tadbiqlari va mavzuga doir misolar
Teylor teoremasining bu takomillashtirilishi odatda o'rtacha qiymat teoremasi yordamida isbotlanadi , bu nom shu erdan olingan. Boshqa shunga o'xshash iboralarni ham topish mumkin. Masalan, agar G ( t ) yopiq intervalda uzluksiz bo‘lsa va a va x orasidagi ochiq intervalda yo‘qolmaydigan hosila bilan differentsiallansa , u holda
a va x orasidagi ba'zi bir sonlar uchun . Ushbu versiya qolganning Lagranj va Koshi shakllarini maxsus holatlar sifatida qamrab oladi va quyida Koshining o'rtacha qiymat teoremasi yordamida isbotlangan
Teylor teoremasi va Teylor qatorining yaqinlashuvi
f ning Teylor qatori uning barcha hosilalari chegaralangan va k cheksizlikka ketayotganda juda tez o'smaydigan oraliqda yaqinlashadi . (Ammo, Teylor qatori yaqinlashsa ham, u quyida tushuntirilganidek f ga yaqinlashmasligi mumkin; f ga analitik bo'lmagan deb aytiladi .)
Teylor seriyasi haqida o'ylash mumkin
cheksiz ko'p marta differentsiallanuvchi funktsiyaning f : R → R a da "cheksiz tartibli Teylor ko'phad" sifatida . Endi qolganlar uchun hisob -kitoblar shuni anglatadiki, agar har qanday r uchun f ning hosilalari ( a - r , a + r ) chegaralanganligi ma'lum bo'lsa , u holda har qanday tartibli k va har qanday r > 0 uchun doimiy M mavjud bo'ladi. k,r > 0 shunday bo'ladi
har bir x ∈ ( a - r , a + r ) uchun. Baʼzan M k,r konstantalarini shunday tanlash mumkinki, M k,r yuqorida chegaralangan boʻladi, oʻzgarmas r va barcha k uchun . Keyin f ning Teylor qatori qandaydir analitik funksiyaga bir xilda yaqinlashad
( M k,r yuqoridan chegaralanmagan bo'lsa ham, agar u etarlicha sekin o'sib borsa ham, yaqinlashuvga erishiladi
Ko'p o'zgaruvchan funksiyalar uchun Teylor teoremasi
Teylor teoremasining ko‘p o‘zgaruvchan varianti : R n → R a ∈ R n nuqtada k - marta uzluksiz differentsiallanuvchi funksiya bo‘lsin . U holda h a : R n → R shunday mavjud
Agar f : R n → R funksiyasi yopiq sharda…k +1marta uzluksiz differensiallanuvchi bo'lsa {\displaystyle B=\{\mathbf {y} {R} ^{n} {a}-{y} r\}}
u holda bu qo'shnilikdagi f ning ( k +1) - tartibli qisman hosilalari bo'yicha qolgan uchun aniq formulani olish mumkin .
Bunda B ixchamto'plamdagi ( k +1 )-tartibli qisman hosilalarning uzluksizligi tufayli darhol bir xil baholar olinadi
Koʻp oʻzgaruvchan Teylor koʻphadlarining qolgan qismi uchun hosila
Maxsus holatni isbotlaymiz, bunda f : R n → R markazi a bo'lgan ba'zi yopiq sharda k +1 tartibgacha uzluksiz qisman hosilalarga ega . Isbotlash strategiyasi Teylor teoremasining bir o'zgaruvchili holatini f ni x va a ga qo'shni chiziq segmentiga cheklashda qo'llashdan iborat . a va x orasidagi chiziq segmentini u ( t ) = a + t ( x - a ) orqali parametrlashtiring
.Teylor teoremasining bir o‘zgaruvchili variantini g ( t ) = f ( u ( t )) funksiyaga qo‘llaymiz :
Bir nechta o'zgaruvchilar uchun zanjir qoidasini qo'llash beradi
ko'p nomli koeffitsient hisoblanadi .
Teylor formulasi matematik analizning eng muhim formulalaridan biri bo`lib, ko`plab nazariy tatbiqlarga ega. U taqribiy hisobning negizini tashkil qiladi.
Teylor ko`phadi. Peano ko`rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi. Ma`lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma`nosida ko`phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning x0 nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko`phad bilan almashtirish muammosi paydo bo`ladi.
Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta`rifiga ko`ra agar y=f(x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi bo`lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini
f(x)=f(x0)+f`(x0)(x-x0)+o(x-x0)
ko`rinishda yozish mumkin.
Boshqacha aytganda x0 nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun birinchi darajali
P1(x)=f(x0)+b1(x-x0) (3.1)
ko`phad mavjud bo`lib, x®x0 da f(x)=P1(x)+o(x-x0) bo`ladi. Shuningdek, bu ko`phad P1(x0)=f(x0), P1`(x0)=b=f`(x0) shartlarni ham qanoatlantiradi.
Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar x=x0 nuqtaning biror atrofida aniqlangan y=f(x) funksiya shu nuqtada f`(x), f``(x), ..., f(n)(x) hosilalarga ega bo`lsa, u holda
Do'stlaringiz bilan baham: |
