Toshкent davlat texniкa

2-§. Namunaviy misol va masalalar yechimi 1-misol. Tanlanma taqsimot berilgan:

x_i 2 4 5 7

n_i 15 15 10 10

Nisbiy chastotali taqsimoti yozilsin.

4

Yechish: To‗plam hajmi:

n  _n_i  15  15  10  10  50 ^.

i1

Nisbiy chastotalarni hisoblaymiz:

w  ⁿⁱ i _n
w  ⁿⁱ i _n

 ¹⁵  0,3,

50

 ¹⁰  0,2,

50

w  ⁿⁱ i _n

 ¹⁵  0,3,

50

w  ⁿⁱ i _n

 ¹⁰  0,2,

50

Demak,

^xi ²

n_i 0,3

4

4

0,3

5

0,2

7

0,2

_ w_i  0,3  0,3  0,2  0,2  1

i1

1. 
   misol. Berilgan tanlanma taqsimotga ko‗ra еmpirik funksiya tu- zing:
   

Yechish:

x_i 2

n_i 12

6 10

18 30

n  12 18  30  60.

Tanlanmaning hajmi

n  60

ga teng. Еng kichik varianta 2 ga

1
teng bo‗lgani uchun,

х  2

qiymatlarda

F_n *(x)  0

bo‗ladi. Belgi-

ning

X  6

qiymatlari, chunonchi

 2 qiymati 12 marta kuzatil-

x
gan, demak, 2  x  6 bo‗lganda

F *(x)  ¹²  ¹  0,2.

ⁿ 60 5

Belgining X  10 qiymatlari, chunonchi x₁  2 va x ₂  6 qiymat-

lari 12+18=30 marta kuzatilgan, demak, 6  x  10 bo‗lganda

F * ( x )  ³⁰  0,5 .

ⁿ ₆₀

Belgining

x₃  10

qiymati еng katta variantaga teng bo‗lgani

uchun x  10 bo‗lganda F_n *(x)  1 ga teng bo‗ladi.

Izlanayotgan еmpirik funksiyani yozamiz:








n
F * (x)  ^



_

0,

0.2,

0.5,

1,

x  2;

2  x  6;

6  x  10;

x  10.

Bu funksiyaning grafigi 7-rasmda berilgan.

F_n *(x)

1
0,5

0,2
0 2 6 10 X

6. 
   rasm.
   

3. 
   misol. Tanlanmaning quyida berilgan taqsimoti bo‗yicha nisbiy chastotalar poligonini yasang:
   

x_i 1,5

w_i 0,1

3,5

0,2

5,5

0,4

7,5

0,3

8-rasm.

Yechish: absissalar o‗qida x_i

variantalarni, koordinatalar o‗qida

еsa mos keluvchi w_i

nisbiy chastotalarni qo‗yamiz; (x_i , w_i )

nuqtalar-

ni to‗g‗ri chiziq kesmalari bilan tutashtirib, izlanayotgan nisbiy chas- totalar poligonini hosil qilamiz (8-rasm).

3. 
   misol.Tanlanmaning quyida berilgan taqsimoti bo‗yicha chasto- talar gistogrammasini yasang:
   

3. 
   jadval
   

Interval nomeri	Qismiy interval	Intervaldagi variantalar chastotalari yig‗indisi	Chastota zichligi
i	^xi ^^xi 1	ni	ni h
1	5-10	4	0,8
2	10-15	6	1,2
3	15-20	16	3,2
4	20-25	36	7,2
5	25-30	24	4,8
6	30-35	10	2,0
7	35-40	4	0,8

Yechish: Abssissalar o‗qida h=5 uzunlikdagi berilgan intervallar- ni yasaymiz. Bu intervallarning ustida abssissalar o‗qiga parallel va

undan tegishli chastota zichliklari

ⁿⁱ ga teng masofada bo‗lgan kes-

h

malar o‗tkazamiz. Masalan, (5;10) intervalning ustida abssissalar

o‗qiga parallel qilib,

n_{i }

h

 0,8

masofada kesma yasaymiz. Qol-

gan kesmalar ham shunga o‗xshash yasaladi. Izlanayotgan chastotalar gistogrammasi 9-rasmda tasvirlangan.

5-misol. Bosh to‗plamdan hajmi n=100 ga teng tanlanma olingan va taqsimoti yozilgan:

varianta 𝑥_𝑖: chastota 𝑛_𝑖:

1220

40

1270

10

1290

20

1330

30

Bosh to‗plamning o‗rta qiymati uchun siljimagan baho topilsin.

Yechish. Bu holda quyidagi shartli variantalarga o‗tamiz.Buning uchun: u_i = x_i − c. c = 1280 deb olamiz.



_{𝑥 =} 𝑛_𝑖𝑥_{𝑖 = 𝑐 +} 𝑛_𝑖𝑢_𝑖

^𝑇 𝑛 𝑛

n_i h
7,2

4,8

3,2

2

106

1,2

0,8

0 5 10 15 20 25 30 35 40 X

9-rasm

𝑢₁ = 1220 − 1280 = −60, 𝑢₂ = 1270 − 1280 = −10,

𝑢₃ = 1290 − 1280 = 10 𝑢₄ = 1330 − 1280 = 50

Sartli variantalar uchun taqsimotini yozamiz:

varianta 𝑢_𝑖: chastota 𝑛_𝑖:

−60

40

−10 10 50

10 20 30

Bosh to‗plamning o‗rta qiymati uchun siljimagan bahoni yozamiz:


_{𝑥 = 𝑐 +} 𝑛_𝑖𝑢_{𝑖 = 1280 +} −60 ∙ 40 − 10 ∙ 10 + 10 ∙ 20 + 50 ∙ 30 ₌

𝑇 _𝑛

100

𝑇
= 1280 − ⁸⁰⁰ = 1280 − 8 = 1272. Demak, 𝑥 = 1272.

100

5. 
   misol. Tanlanma to‗plamning hajmi 𝑛 = 196, o‗rta qiymati
   

𝑥_𝑇 = 75,09 va o‗rta kvadratik chetlanishi 𝜎 = 14, ishonchliligi

𝛾 = 0,95 ga teng bo‗lganda normal taqsimotga ega bo‗lgan bosh to‗plamning matematik kutilmasi a uchun ishonchlilik intervali to- pilsin.

Yechish: Tanlanma to‗plamning hajmi n, o‗rta kvadratik chetlani- shi va o‗rta qiymati 𝑥_𝑇 ma‘lum bo‗lganda, a parameter uchun

ishonchlilik intervali

𝑥_𝑇

− 𝑡 ^𝜎

^𝑛

< 𝑎 < 𝑥_𝑇

+ 𝑡 ^𝜎 .

^𝑛

tenglik yordamida aniqlanadi; bunda t ni

Ф 𝑡 = ^𝛾

2

tenglik yordamida 1-jadvaldan topiladi.

1-jadvaldan t=1,96.

Ф 𝑡

𝛾

= ₂ =

^0,95 = 0,475;

2

Demak, ishonchlilik intervali quyidagicha bo‗ladi:

75,09 − 1,96 <sup>14

196</sup>

< 𝑎 < 75,09 + 1,96 <sup>14

196</sup>

7. 
   misol.
   

75,09 − 1,96 < 𝑎 < 75,09 + 1,96

73,13 < 𝑎 < 77,05

Еmpirik chastotalar:

  0,05

n_i :

6, 13,

38,

74,

106,

85,

30, 14

Nazariy chastotalar:

n_i^ :

6, 14,

42,

82,

99,

76,

37, 13

^H0 : bosh to‗plam normal taqsimlangan.

Yechish: Quyidagi hisoblash jadvalini to‗ldiramiz:
6-jadval

1	2	3	4	5	6	7	8
i	ni	ni^	ni  ni^	(n  n^)^2 i i	(n  n^)^2 i i ni	n 2 i	n 2 i ni^
1	6	3	3	9	3	36	12
2	13	14	-1	1	0.07	169	12.07
3	38	42	4	16	0.38	1444	34.38
4	74	82	-8	64	0.78	5476	66.78
5	106	99	7	49	0.49	4236	113.49
6	85	76	9	81	1.07	7225	95.07
7	30	37	-7	49	1.32	900	24.32
8	14	13	1	1	0.08	196	15.08
	366	366			 ^2 kuz  7.19		373.19

Tekshirish:

 ²  7.19

ⁿ²i



n_i^

 n  373.19  366  7.19

kuz
Demak, hisoblashlar to‗g‗ri bajarilgan. Tanlanma guruhlari soni

^{s  8 . Demak} k  8  3  5 ^.

 ² taqsimotining kritik nuqtalari jadvalidan

  0,05 va

k  5

ga mos keluvchi

² qiymatini topamiz:


kr

кr

2


 ² (0.05;5)  11.1


2

kuz

_kr bo‗lgani uchun ^H₀ gipotezani rad еtishga asos yo‗q.

 
Boshqacha aytganda, еmpirik va nazariy chastotalar farqi muhim еmas (tasodifiy).

Demak, kuzatishlar natijasi bilan bosh to‗plam normal taqsimlan- gan degan gipoteza muvofiq keladi.

8. 
   misol. Bosh to‗plam normal taqsimlangan deb faraz qilib, n=200 hajmli tanlanmaning, bir xil uzunlikdagi intervallar ketma-ketligi va ularga mos chastotalar ko‗rinishida berilgan еmpirik taqsimoti bo‗yicha nazariy chastotalarini toping.
   

7. 
   jadval
   

Interval nomeri	Interval uchlari		Chastotalar
i	xi	^xi 1	hi
1	4	6	15
2	6	8	26
3	8	10	25
4	10	12	30
5	12	14	26
6	14	16	21
7	16	18	24
8	18	20	20
9	20	22	19

Yechish:

1. 
   _{X *i}
   

_ ^Xi ^{ X}i1

2

o‗rtalarini topib quyidagi jadvalni olamiz;

7. 
   jadval
   

xi *	5	7	9	11	13	15	17	19	21
ni	15	26	25	30	26	21	24	20	13

2. 
   Кo‗paytmalar usulidan foydalanib topamiz;
   

X*  12.63,

*  4.695

larni

3) ^(z_i ^{; z}_{i 1}⁾

intervallarni topamiz;

7. 
   jadval
   

i	xi	^xi 1	xi  x *	xi 1  x *	z  xi  x * ^i  *	z  xi1  x * i1  *
1	4	6	-	-6,63	- ^	-1,41
2	6	8	-6,63	-4,63	-1,41	-0,99
3	8	10	-4,63	-2,63	-0,99	-0,156
4	10	12	-2,63	-0,63	-0,156	-0,13
5	12	14	-0,63	1,37	-0,13	0,29
6	14	16	1,37	3,37	0,29	0,72
7	16	18	3,37	5,37	0,72	1,14
8 9	18 20	20 22	5,37 7,37	7,37 -	1,14 1,57	1,57 

4) ^Pi -nazariy ehtimollarni va topamiz: ⁿ_i^{  n  P}_i

^ni - izlanayotgan nazariy chastotalarni

7. 
   jadval
   

Interval uchlari			Ф(zi 1)	Pi  Ф(zi )   Ф(zi1 )	ni^ nPi  200Pi
zi	^zi1	Ф(zi )
- ^	-1,41	-0,5	-0,4207	0,0793	15,86
-1,41	-0,99	-0,4209	-0,3389	0,0818	16,36
-0,99	-0,156	-0,3389	-0,2123	0,1266	25,32
-0,156	-0,13	-0,2123	-0,0517	0,1606	32,16
-0,13	0,29	-0,0517	0,1141	0,1658	33,16
0,29	0,72	0,1141	0,2642	0,1501	30,02

0,72 1,14 1,57	1,14 1,57 	0,2642 0,3729 0,4418	0,3729 0,4418 0,5	0,1087 0,0689 0,0582	21,74 13,78 11,64
				 Pi  1	 ni^  200

3.