Toshkent 2021 yil Annotatsiya

4.10-§. To’g’ri chiziqning chiziqli va aylanish sirtlari bilan kesishishi

To’g’ri chiziqning chiziqli sirtlar konus va silindr bilan kesishayotgan nuqtalarini aniqlashda to’g’ri chiziq orqali o’tkaziladigan tekislikni sirtning barcha yasovchilarini kesib o’tadigan vaziyatda emas, balki sirtning faqat ikkita yasovchisi orqali kesib o’tadigan vaziyatda o’tkazilsa, masalani yechish ancha soddalashadi.

Bu holda to’g’ri chiziq orqali o’tkaziladigan tekislik proyeksiyalovchi emas, balki umumiy vaziyatdagi tekislik hisoblanadi.

Misol. To’g’ri chiziqning silindr bilan kesishish nuqtalari topilsin (4.10.1- chizma).

4.10.1- chizma

Bu masalani dastlab yaqqol tasvirda yechilishi bilan tanishib chiqiladi (4.10.1- chizma, a). To’g’ri chiziqda C va E tanlab olinadi va ular orqali sirt yasovchilariga parallel to’g’ri chiziqlar o’tkaziladi. Bu to’g’ri chiziqlarning sirt asosi tekisligi H bilan kesishib hosil qilgan izlari T va N deb belgilanadi. Bu T va N nuqtalar o’zaro tutashtirilsa, o’zaro parallel to’g’ri chiziqlarda ifoda qilingan tekisliklarning gorizontal izi hosil bo’ladi. Bu iz silindr asosini 1 va 2 nuqta kesadi. 1 va 2 nuqtalardan silindr yasovchilari o’tkazilsa, ular to’g’ri chiziq orqali o’tkazilgan tekislik bilan sirtning kesishish chizig’i hisoblanadi. To’g’ri chiziq bilan silindr yasovchilari kesishayotgan M va N nuqtalar to’g’ri chiziqning sirt bilan kesishish nuqtalari hisoblanadi.

Epyurda (4.10.1- chizma, b) 1. To’g’ri chiziqda C va E nuqtalarning H da C^l va E^l larni, V da C^ll va E^ll proyeksiyalarini belgilab olinadi. Ular orqali silindr yasovchilariga parallel qilib to’g’ri chiziqlar o’tkaziladi. Silindr asosi tekisligi H da bu to’g’ri chiziqlarning izlari T^l va N^l lar aniqlanadi va ular o’zaro tutashtirilib tekislikning H bilan hosil qilgan gorizontal izi yasaladi.

2. 
   Tekislik izining silindr asosi bilan kesishayotgan 1^l va 2^l orqali sirt yasovchilarining gorizontal proyeksiyalari o’tkaziladi. Shunda bu yasovchilar to’g’ri chiziqning gorizontal proyeksiyasini M^l va N^l nuqtalarda kesib o’tadi. Ularning frontal proyeksiyalari M^ll va N^ll lar aniqlanadi.
   
3. 
   To’g’ri chiziqning sirtga nisbatan ko’rinadigan va ko’rinmaydigan qismlari aniqlanadi.
   

Misol. To’g’ri chiziqning konus sirti bilan kesishish nuqtalari aniqlansin (4.10.2- chizma).

4.10.2- chizma

Bu masalani dastlab yaqqol tasvirda yechilishi bilan tanishib chiqiladi (4.10.2- chizma, a).

1. 
   To’g’ri chiziqda C va E nuqtalar tanlab olinadi va ularni konus uchi S bilan tutashtiriladi. SC va SE chiziqlarning konus asosi tekisligi H dagi izlari T va L aniqlanadi va ular o’zaro tutashtiriladi. Shunda konus uchi S orqali o’tuvchi tekislikning gorizontal izi hosil bo’ladi.
   
2. 
   Tekislik izi bilan konus kesishayotgan 1 va 2 nuqtalar konus uchi S bilan tutashtiriladi. Shunda to’g’ri chiziq orqali o’tkazilgan tekislikning konus bilan kesishgan chizig’i hosil bo’ladi. To’g’ri chiziqning 1S va 2S lar bilan kesishayotgan joylarida konus bilan kesishgan nuqtalari aniqlanadi.
   

Mazkur misolni epyurda uning yaqqol tasviriga solishtirib yechiladi (4.10.2- chizma, b).

Misol. Aylanish sirti bilan to’g’ri chiziqning kesishish nuqtalari topilsin (4.10.3- chizma).

1. 
   To’g’ri chiziq orqali frontal proyeksiyalovchi tekislik T (T_v) o’tkaziladi va uning sirt bilan kesishgan chizig’i aniqlanadi.
   
2. 
   To’g’ri chiziqning gorizontal proyeksiyasi t^l bilan kesishish chiziqning o’zaro kesishayotgan joylari C^l va E^l deb belgilanadi va ularning frontal proyeksiyalari topiladi.
   
3. 
   T o’g’ri chiziq sirtning asosini C (C^l, C^ll) nuqtada, yon sirtini E (E^l, E^ll) nuqtada kesib o’tmoqda. Shu bois to’g’ri chiziqning sirtga nisbatan ko’rinadigan va 4.10.3- chizma ko’rinmaydigan qismlari aniqlanadi.
   

Misol. To’g’ri chiziq bilan sferaning kesishish

nuqtalari topilsin (4.10.4- chizma). Bu misolni yechishda proyeksiyalar tekisliklarini almashtirish usulidan foydalanish ancha qulay hisoblanadi.

1. 
   Yangi koordinatalar o’qi x₁ to’g’ri chiziqning proyeksiyalaridan biri, masalan, gorizontal proyeksiyasi A^l B^l ga parallel qilib o’tkaziladi va V ni V₁ ga almashtiriladi.
   
2. 
   To’g’ri chiziqning H dagi proyeksiyasi orqali gorizontal proyeksiyalovchi tekislik o’tkaziladi va uning sfera bilan kesishgan chizig’i V₁ ga aylana ko’rnishida proyeksiyalanadi. Uning A^ll₁ B^ll₁ bilan kesishayotgan joylarida izlanayotgan kesishish nuqtalari C^ll₁ va E^ll₁ lar yotadi.
   
3. 
   Q ayta tiklash yo’li bilan bu kesishish ^{4.10.4- chizma} nuqtalarining oldin H da, keyin V da topiladi.
   

Buning uchun C^ll₁ va E^ll₁ lardan x₁ ga perpendikulyar chiziqlar o’tkaziladi va A^l B^l da C^l E^l topiladi. Keyin C^l va E^l lardan x ga perpendikulyar chiziqlar yordamida A^ll B^ll da C^ll va E^ll lar aniqlanadi.

4. 
   To’g’ri chiziqning sirtga nisbatan ko’rinmaydigan qismlari aniqlanadi.
   

Agar sirt bilan kesishayotgan to’g’ri chiziq proyeksiyalovchi vaziyatda bo’lsa, uning sirt bilan kesishayotgan nuqtalarini topish ancha qulay hisoblanadi.

4.10.5- chizma, a da sirt bilan kesishayotgan to’g’ri chiziq frontal proyeksiyalovchi, 4.10.5- chizma, b da gorizontal proyeksiyalovchi, 4.10.5- chizma, c da gorizontal vaziyatda berilgan. Bunday va shu kabi to’g’ri chiziqlarning sirtlar bilan kesishish nuqtalarini aniqlash chizmalarning o’zida yaqqol ko’rsatilgan.

4.10.5-chizma