|
4
Birinchi tur egri chiziqli integral ta’rifi
Tekislikda biror sodda
AB
1
2
2
2
1
2
,
,
,
A
a a
R B
b b
R
egri chiziqni (yoyni)
olaylik.Bu ikki yo’nalishdan birini musbat yo’nalish, ikkinchisini manfiy
yo’nalish deb qabul qilaylik.
(1-chizma )
0
1
0
0
0
1
2
1
2
,
,...,
,
,
0,1,..., ,
,
,
,
,
,
n
k
k
k
n
n
n
A
A A
A
B A
x y
AB k
n A
x y
a a
A
x y
b b
nuqtalar yordamida
n
ta bo’lakka bo’lamiz. Bu
0
1
,
,...,
n
A A
A
nuqtalar sistemasi
AB
yoyining bo’laklashi deb ataladi va u
0
1
,
,...,
n
P
A A
A
kabi belgilanadi.
1
k
k
A A
yoy ( bo’laklash yoylari) uzunliklari
0,1, 2,...,
k
S
k
n
ning
eng kattasi
P
bo’laklash diametri deyiladi va u
p
bilan belgilanadi:
max
p
k
S
Ravshanki ,
AB
egri chiziqni turli usullar bilan istalgan sonda bo’linishlarini tuzish
mumkin.
AB
egri chiziqda
,
f x y
funksiya berilgan bo’lsin. Bu egri chiziqning
0
1
,
,...,
n
P
A A
A
5
bo’linishini va uning har bir
1
k
k
A A
yoyida
ixtiyoriy
,
k
k
k
Q
1
,
,
0,1, 2,...,
k
k
k
k
k
Q
A A
k
n
nuqta olamiz.Berilgan funksiyaning
,
k
k
k
Q
nuqtadagi
,
k
k
f
qiymatini
1
k
k
A A
ning
k
S
uzunligiga ko’paytirib quyidagi
yig’indini tuzamiz:
1
0
,
n
k
k
k
k
f
S
(0.1)
Endi
AB
egri chiziqning shunday
1
2
,
,...,
,...,
m
P P
P
(0.2)
bo’linishlari ketma-ketligini qaraymizki, ularning mos diametrlaridan tashkil
topgan
1
2
,
,...,
,...,
m
p
p
p
Ketma-ketlik nolga intilsin:
0
m
p
bunday bo’linishlarga nisbatan kabi
yig’indilarni tuzib, ushbu
1
2
,
,...,
,...,
m
ketma-ketlikni hosil qilamiz. Ravshanki bu ketma-ketlikning har bir hadi
,
k
k
k
Q
nuqtalarga bog’liq.
1.1-ta’rif
. Agar
AB
egri chiziqning (1.2) ko’rinishdagi bo’linishlari ketma-
ketligi
m
P
olinganda ham, unga mos yig’indilardan iborat
m
ketma-ketlik
,
k
k
tanlab olinishiga bog’liq bo’lmagan holda hamma vaqt bitta
I
soniga
intilsa, bu son
yig’indining limiti deb ataladi va
1
0
0
0
lim
lim
,
n
k
k
k
x
x
k
f
S
I
(0.3)
kabi belgilanadi.
6
1.2-ta’rif.
Agar
0
son olinganda ham shunday
0
topilsaki,
AB
egri
chiziqning diametri
p
bo’lgan har qanday
P
bo’linishi uchun tuzilgan
yig’indi ixtiyoriy
1
,
k
k
k
k
A A
nuqtalarda
I
Tengsizlik bajarilsa,
I
son yig’indining
0
p
dagi limiti deb ataladi va (1.3)
kabi belgilanadi.
1.3-ta’rif.
Agar
0
p
da
yig’indi chekli limitga ega bo’lsa u holda
,
f x y
funksiya c egri chiziq bo’yicha integrallanuvchi deyiladi. Bu limit
,
f x y
funksiyaning egri chiziq bo’yicha birinchi tur egri chiziqli integrali deb ataladi va
,
AB
f x y dS
kabi belgilanadi.
Shunday qilib kiritilgan egri chiziqli integral tushunchasining o’ziga xosligi
qaralayotgan ikki argumentli funksiyaning berilish sohasi tekislikdagi biror
AB
egri chiziq ekanligidir.
Uzluksiz funksiya birinchi tur egri chiziqli integralining mavjudligi
Faraz qilaylik ,
AB
egri chiziq ushbu
0
x
x s
s
S
y
y s
(0.4)
sistema bilan berilgan bo’lsin. Bunda
s
AQ
yoyning uzunligi
,
,
Q
x y
AB
S
esa
AB
yoyning uzunligi.
,
f x y
funksiya shu
AB
egri chiziqda berilgan bo’lsin,
modomiki ,
x
x s
,
0
x
x s
y
y s
s
S
ekan, unda
,
,
x y
f x s
y s
bo’lib, natijada ushbu
,
0
f x s
y s
F s
s
S
7
funksiyaga ega bo’lamiz.
AB
egri chiziqning
0
1
,
,...,
n
P
A A
A
bo’linishini va har bir
1
k
k
A A
da
ixtiyoriy
,
k
k
k
Q
nuqtani olaylik. Har bir
k
A
nuqtaga mos keladigan
k
AA
ning
uzunligi
k
s
, har bir
k
AQ
ning uzunligi
k
s
deylik. Ravshanki,
1
k
k
A A
ning uzunligi
1
k
k
k
s
s
s
bo’ladi.
Natijada
P
bo’linishga nisbatan tuzilgan
1
0
,
n
k
k
k
k
f
s
yig’indi ushbu
1
1
1
0
0
0
,
,
n
n
n
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
f
s
f x s
y s
s
F s
s
ko’rinishga keladi. Demak
1
0
n
k
k
k
F s
s
(0.5)
Bu yig’indini
0,
S
oraliqdagi
F s
funksiyaning integral yig’indisi
ekanligini payqash qiyin emas.
Agar
,
f x y
funksiya
AB
egri chiziqda uzluksiz bo’lsa, u holda
F x
funksiya
0,
S
da uzluksiz bo’ladi.Demak bu holda
F s
funksiya
0,
S
da
integrallanuvchi:
1
0
0
lim
p
S
n
k
k
k
O
F s
s
F s ds
(0.6)
Shunday qilib,(1.5) va (1.6) munosabatlardan
0
p
da
yig’indining limiti
mavjud bo’lishi va
8
0
lim
p
S
O
F s ds
ekanligini topamiz.Natijada quyidagi teoremaga kelamiz.
1.1-teorema.
Agar
,
f x y
funksiya
AB
egri chiziqda uzluksiz bo’lsa , u holda
bu funksiyaning
AB
egri chiziq bo’yicha birinchi tur egri chiziqli integrali
mavjud bo’ladi va
0
,
,
S
AB
f x y ds
f x s
y s ds
bo’ladi.
Bu teorema bir tomondan uzluksiz funksiya birinchi tur egri chiziqli integralining
mavjudligini aniqlab bersa , ikkinchi tomondan bu integralning aniq
integralga(Riman integraliga) kelishini ko’rsatadi.
Birinchi tur egri chiziqli integrallarning xossalari
Birinchi tur egri chiziqli integrallar ham Riman integrallari xossalari kabi
xossalarga ega bo’ladi.Shuni e’tiborga olib , egri chiziqli integrallarning asosiy
xossalarini sanab o’tish bilan kifoyalanamiz.
(1.4) sistema bilan aniqlangan
AB
egri chiziqda
,
f x y
funksiya berilgan va
uzluksiz.
1 .
Agar
AB
AC CB
bo’lsa, u holda
,
,
,
AB
CB
AC
f x y ds
f x y ds
f x y ds
bo’ladi.
2 .
Ushbu
9
,
,
AB
AB
cf x y ds
c
f x y ds
c
const
tenglik o’rinli.
AB
egri chiziqda
,
f x y
funksiya bilan
,
g x y
funksiya ham berilgan va uzluksiz.
3 .
Quyidagi
,
,
,
,
AB
AB
AB
f x y
g x y ds
f x y ds
g x y ds
formula o’rinli bo’ladi.
4 .
Agar
,
x y
AB
da
,
0
f x y
bo’lsa , u holda
,
0
AB
f x y ds
bo’ladi.
5 .
,
f x y
funksiya shu
AB
da integrallanuvchi va
,
,
AB
AB
f x y ds
f x y ds
bo’ladi.
6 .
Shunday
1
2
,
c c
AB
nuqta topiladiki ,
1
2
,
,
AB
f x y dsdx
f c c
S
bo’ladi, bunda
S
AB
ning uzunligi.Ushbu xossa o’rta qiymat haqidagi
teorema deb ataladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
