|
To'plamlar nazariyasining elementlari.
"Ostida ko'p biz sezgi yoki fikrimizning aniq, to'liq ajralib turadigan ob'ektlarini bir butunligiga birlashtirishni tushunamiz "- to'plamlar nazariyasining asoschisi Georg Kantor" to'plam "tushunchasini shunday ta'riflagan.
Kantor to'plami nazariyasining asosiy asoslari quyidagilardan iborat:
1 ° To'plam har qanday ajralib turadigan narsalardan iborat bo'lishi mumkin.
2 ° To'plam uni tashkil etuvchi ob'ektlar to'plami bilan noyob tarzda aniqlanadi.
3 ° Har qanday xususiyat ushbu xususiyatga ega bo'lgan ob'ektlar to'plamini belgilaydi.
Agar x ob'ekt bo'lsa, P xossadir, P (x) x ning P xususiyatiga ega bo'lgan belgi bo'lsa, u holda (x | P (x)) P xususiyatiga ega bo'lgan ob'ektlarning butun sinfini bildiradi. Sinf yoki to'plam deyiladi elementlar sinf yoki to'plam.
Atama " kopgina"to'plam, to'plam, ba'zi elementlarning to'plamlari uchun sinonim sifatida ishlatiladi. Shunday qilib, biz quyidagilar haqida gaplashishimiz mumkin:
a) uyadagi ko'plab asalarilar,
b) segmentning to'plamlari,
v) kvadrat tepaliklari to'plami yoki uning tomonlari va diagonallari to'plamlari,
d) sinfda ko'plab talabalar va boshqalar.
A), c) -d) holatlarda keltirilgan misollarda mos keladigan to'plamlar ma'lum sonli ob'ektlardan iborat bo'lib, bunday to'plamlar deyiladi final... Kesmaning nuqtalari to'plamini (b misolida) hisoblash mumkin emas, shuning uchun bunday to'plamlar deyiladi cheksiz... Hech qanday elementni o'z ichiga olmagan to'plam deyiladi bo'sh ko'p.
To'plamni ko'rsatishning eng oddiy shakli uning elementlarini ro'yxatlashdir, masalan A \u003d (4, 7, 13) (A to'plam uchta elementdan iborat - 4, 7, 13 sonlar). Sozlashning yana bir tez-tez ishlatiladigan shakli to'plam elementlarining xususiyatlarini bildiradi, masalan, A \u003d (x | x 2-4) - bu belgilangan shartni qondiradigan x sonlar to'plami.
To'plamlar odatda A, B, C, ... katta harflar bilan belgilanadi va ularning elementlari kichik: a, b, c, ... A ∈ A (o'qish: a A ga tegishli) yoki A ∋ a (o'qing: A tarkibida a) a A to'plamining elementi ekanligini anglatadi. Bo'sh to'plam Ø bilan belgilanadi.
Agar B to`plamning har bir elementi ham A to`plamning elementi bo`lsa, B to`plam deyiladi kichik to'plam A to'plami (yozuv - B ⊆ A yoki A ⊇ B).
Har bir to'plam o'z ichki to'plamidir (bu to'plamning "eng keng" to'plami). Bo'sh to'plam - bu har qanday to'plamning pastki qismi (bu "eng tor" to'plam). A to'plamining boshqa har qanday kichik to'plamida A to'plamining kamida bitta elementi mavjud, ammo uning barcha elementlari emas. Bunday pastki to'plamlar haqiqiy yoki to'g'ri pastki to'plamlar deb nomlanadi. A to'plamining haqiqiy pastki to'plamlari uchun biz B ⊂ A yoki A ⊃ B yozuvlarini ishlatamiz, agar bir vaqtning o'zida B ⊆ A va A ⊆ B, ya'ni B to'plamining har bir elementi A ga tegishli bo'lsa va shu bilan birga har biri A elementi B ga tegishli, keyin A va B aniq bir xil elementlardan iborat va shu sababli bir-biriga to'g'ri keladi. Bunday holda, o'rnatilgan tenglik belgisi ishlatiladi: A \u003d B. (∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, The alomatlari inklyuziya belgilari deb ataladi).
Geometrik ravishda to'plamlar odatda tekislikdagi ba'zi bir nuqtalar to'plami sifatida tasvirlanadi. Rasmlarning o'zi deyiladi eyler-Venn diagrammalari (Eyler doiralari)... Ya'ni, Eyler-Venn diagrammasi - bu asrning oxirida ingliz mantiqi Jon Ven (1834 - 1923) tomonidan taklif qilingan kesishgan konturlar (doiralar yoki ellipslar) orqali tushunchalar jildlari orasidagi o'zaro bog'liqliklarning geometrik tasvirlari yoki geometrik tasvirlari. oxirgi oldin. Mantiqiy figuralarni vizual grafik tasvirlash bo'yicha ishlarida u Eyler (1707 - 1783), I. Lambert (1728 - 1777), Gergonne (1771 - 1859), B. Bolzano (1781) tomonidan taklif qilingan bir qator grafik tizimlarga asoslandi. - 1848).
Bu erda ba'zi diagrammalar mavjud. Diagrammaning konstruktsiyasi universal to'plamni ifodalovchi katta to'rtburchak tasviridan iborat Uva uning ichida - doiralarni (yoki boshqa yopiq raqamlarni), to'plamlarni ifodalaydi. Shakllar muammo talab qiladigan eng umumiy usulda kesishishi va shunga muvofiq belgilanishi kerak. Diagrammaning turli sohalarida joylashgan nuqtalarni tegishli to'plamlarning elementlari deb hisoblash mumkin. Diagrammani tuzib, yangi tashkil etilgan to'plamlarni ko'rsatish uchun ba'zi joylarni soya qilish mumkin.
To'plamlardagi operatsiyalar mavjud to'plamlardan yangi to'plamlarni olish deb hisoblanadi.
Ta'rif. Mustahkamlash A va B to'plamlari A, B to'plamlardan kamida bittasiga tegishli bo'lgan barcha elementlardan iborat to'plam deb ataladi (1-rasm):
Ta'rif. Kesishma A va B to'plamlari A to'plamiga ham, B to'plamiga ham bir vaqtning o'zida tegishli bo'lgan barcha elementlardan iborat to'plam deb ataladi (2-rasm):
Ta'rif. Farq A va B to'plamlari B ning tarkibiga kirmaydigan barcha A elementlarining to'plami deb nomlanadi (3-rasm):
Ta'rif. Nosimmetrik farq A va B to'plamlari ushbu to'plamlarning faqat A to'plamiga yoki faqat B to'plamiga tegishli bo'lgan elementlar to'plami deb nomlanadi (4-rasm):
Nosimmetrik farqning yana bir belgisi ham keng tarqalgan: A ∆ V,o'rniga A + B.
Ta'rif. Mutlaq qo'shimcha A to'plam - bu A to'plamga tegishli bo'lmagan barcha elementlarning to'plami (5-rasm):
Kesishmalarning ishlash xususiyatlari: 1) A∩A \u003d A; 2) A∩Ø \u003d Ø; 3) A∩Ā \u003d Ø; 4) A∩U \u003d A; 5) A∩B \u003d B∩A;
|
Birlashma operatsiyasining xususiyatlari: 1) AUA \u003d A; 2) AUØ \u003d A; 3) AUĀ \u003d U; 4) AUU \u003d U; 5) AUB \u003d BUA;
|
Farq operatsion xususiyatlari: 1) A \\ A \u003d Ø; 2) A \\ Ø \u003d A; 3) A \\ Ā \u003d A; 4) A \\ U \u003d Ø;
|
5) U \\ A \u003d Ā; 6) \\ A \u003d Ø; 7) A \\ B ≠ B \\ A;
|
Tengliklar to'g'ri: (AUB) \u003d A∩B; (A∩B) \u003d AUB.
Xulosa qilib aytganda, biz uchta to'plamning birlashmasidagi elementlar sonini hisoblash uchun yana bitta formulani taqdim etamiz (umumiy holat uchun ularning o'zaro kelishuvrasmda ko'rsatilgan):
m (AUBUC) \u003d m (A) + m (B) + m (C) -m (A∩B) -m (B∩C) -m (A∩C) + m (A∩B∩C)
Do'stlaringiz bilan baham: |
