To‘plamlar va ular ustida amallar to‘plamlar va ularga doir tushunchalar

2.3. Sanoqli to‘plamlar. Cheksiz to‘plamlar ichida eng «kichigi» natural sonlar to‘plami
N={1,2,3,4, ∙ ∙ ∙, n , ∙ ∙ ∙}
bo‘lib hisoblanadi.
8-TA’RIF: Natural sonlar to‘plami N va unga ekvivalent barcha cheksiz to‘plamlar sanoqli to‘plam deyiladi.
Agarda А sanoqli to‘plam bo‘lsa, uning elеmеntlarini natural sonlar yordamida belgilab (nomerlab) chiqish mumkin, ya’ni А={а₁ , а₂ , а₃ , ∙ ∙ ∙, а_n , ∙ ∙ ∙} dеb yozish mumkin.
Endi sanoqli to‘plamlarga misollar keltiramiz.
1) Z={butun sonlar}={∙ ∙ ∙, –2,–1,0,1,2, ∙ ∙ ∙} sanoqli to‘plam bo‘ladi. Bunga Zn2n+1N, аgаr n≥0 bo‘lsa va Zn2│n│N, аgаr n<0 bo‘lsa, ya’ni nomanfiy butun sonlarga toq natural sonlarni, manfiy butun sonlarga esa juft natural sonlarni mos qo‘yish bilan ishonch hosil qilish mumkin. Bunda NZ bo‘lsada N~Z ekanligini ta’kidlab o‘tamiz.

2. 
   А={juft sonlar}={2,4,6,8, ∙ ∙ ∙,2n, ∙ ∙ ∙}~N. Bunga A 2n  n N o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish orqali ishonch hosil etish mumkin.
   

Sanoqli to‘plamlar quyidagi xossalarga ega bo‘lishini ko‘rsatish mumkin:
I. Har qanday sanoqli to‘plamning qism to‘plami chekli yoki sanoqli bo‘ladi.
II. Sanoqli va chekli to‘plam birlashmasi sanoqli to‘plam bo‘ladi.
III. Chekli yoki sanoqli sondagi sanoqli to‘plamlar birlashmasi sanoqlidir.
IV. Barcha sanoqli to‘plamlar o‘zaro ekvivalent bo‘ladi.
Oxirgi tasdiqdan barcha sanoqli to‘plamlar bir xil quvvatga ega ekanligi kelib chiqadi.
3-TЕORЕMA: Ratsional sonlar to‘plami Q sanoqli.
Isbot: Q⁺ va Q^– orqali mos ravishda musbat va manfiy ratsional sonlar to‘plamini belgilab, Q= Q^–  {0}  Q⁺ deb yozish mumkin. Bunda Q⁺ r  –r Q^– deb, Q⁺ ~ Q^– ekanligini ko‘ramiz. Shu sababli, II va III xossalarga asosan, Q⁺ to‘plamni sanoqli ekanligini ko‘rsatish kifoya. Har qanday r Q⁺ ratsional sonni r=p/q ko‘rinishda yozish mumkin. Bu yerda p va q – natural sonlar bo‘lib, ularni o‘zaro tub deb hisoblash mumkin. r=p/q sonning balandligi dеb h=|p|+q songa aytiladi. Balandligi h=m≥2 bo‘lgan ratsional sonlar chеklita va ularni balandligi oshib borishi bo‘yicha birin- kеtin nomerlab chiqish mumkin. Masalan, balandligi h=2 bo‘lgan bitta ratsional sonni r₁=1/1=1, h=3 bo‘lgan ikkita ratsional sonlarni r₂=1/2 va r₃=2/1 =2, h=4 bo‘lgan ratsional sonlarni r₄=1/3 va r₅=3/1=3 kabi nomerlaymiz. Demak, har bir musbat ratsional sonni r_n , n N, kabi belgilab chiqish mumkin va shu sababli Q⁺N bo‘ladi.