To’plamlar. To’plamlarning birlashmasi va kesishmasi. Qism-to’plam

 MAVZU: Ratsional sonlar.

To’plamlar. To’plamlarning birlashmasi va kesishmasi. Qism-to’plam.
Turmushda xar xil to’plamlar uchraydi. Masalan, yahlit o’nliklar to’plami, sinfdagi o’g’il bolalar to’plami, o’zbek alfavitining unli hariflri to’plami va hokazolar.
Odatda to’plam katta qavislar bilan yoziladi. Masalan, yaxlit o’nliklar {10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90} to’plamni hosil qiladi, bunda 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90 sonlarining xar biri to’plamga tegishli bo’lib, to’plamning elementlari deb ataladi {1; 7; 11} to’plam uchta elemetga, {0} to’plam bitta elementga ega. Bitta ham elementga ega bo’lmagan to’plam bo’sh to’plam deyiladi va ø bilan belgilanadi.
To’plamlar faqat sonlardagina emas, balki odamlar, hayvonlar, qushlar, buyumlar va hokazolardan tuzilishi mumkin.
To’plamlar lotin alfavitining bosh hariflari bilan belgilanadi. Masalan, A={1; 2; 3}. Agar element to’plamga tegishli bo’lsa  belgi, tegishli bo’lmasa,  belgi qo’yiladi. Yuqoridagi misolda 1A, 5A, 0A, 3A. a,b,c,d elementlardan tuzilgan to’plam B={a,b,c,d} bo’lsa, aB, mB, cB, pB, dB.
1-TARIF. Ikki to’plamning kesishmsi deb shu to’plamlarning umumiy elementlaridan tuzilgan to’plamga aytiladi.
MASALAN, C={1; 2; 4; 8; 16} va D={1; 2; 3; 4; 6; 8; 12} to’plamlarining kesishmasi {1; 2; 4; 8} to’plamdan iborat bo’lib, C  D={1; 2; 4; 8} kabi yoziladi.
2-TARIF. Ikki to’plamning birlashmasi deb kamida shu to’plamlardan biriga tegishli elementlardan tuzilgan to’plamga aytiladi.
M={a; b; c}, L={c; d; e} bo’lsa,
M  L ={c}, ML={a; b; c; d; e};
P={1; 3; 5}, Q={2; 4; 6; 7} bo’lsa,
PQ=ø, PQ={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.
A, B, C, D, E, F nuqtalar to’plamini X bilan, B, D, F, K, P nuqtalar to’plamini Y bilan belgilaylik, yani X={A; B; C; D; E; F} va Y={B; D; F; K; P}. U holda XY={B; D; F}, XY={A; B; C; D; E; F; K; P} bo’ladi.
IZOH. Bir nechta to’plam berilganda ham ularning kesishmasi va birlashmasi yuqoridagidek topiladi. Masalan X={1; 2; 5}, Y={0; 3; 5}, Z={0; 1; 5} bo’lsa, XYZ={5}, XYZ={0; 1; 2; 3; 5} bo’ladi.
3-TARIF. Agar bir to’plamning har bir element ikkinchi to’plamga tegishli bo’lsa borinchi to’plam ikkinchi to’plamning qism-to’plami deyiladi.
Agar B to’plam A to’plamning qism –to’plami bo’lsa BA kabi yoziladi. MASALAN, A={a; b; c; d}, B={b; c; d} bo’lsa, BA.
NATURAL SONLAR. NATURAL SONLAR USYIDA AMALLAR VA ULARNING HOSSALARI.
1, 2, 3, 4, 5, 6 … sonlar natural sonlar deb ataladi.
Barcha natural sonlar natural sonlar to’plamini tashkil etadi va N bilan belgilaadi, yani N= { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8, …}.
N da eng kichik element (son) 1 ga teng; eng katta element (son) mavjud bolmagani uchun u cheksizdir.

1. 
   Agar aN va bN bo’lsa a+b N bo’ladi, yani ikki natural sonning yig’indisi natural son bo’ladi.
   

Yig’indi: a) a+b=b+a - o’rin almashtirish; b) (a+b)+c=a+(b+c) - gruppalash hossalariga ega.

2. 
   Agar aN va bN bo’lsa a*b N bo’ladi, yani ikki natural sonning ko’paytmasi yana natural son bo’ladi. Hususiy xolda a*1=a.
   

Ko’paytma: a) ab=ba - o’rin almashtirish; b) (ab)c=a(bc) – guruppalash hossalariga ega; v) (a+b)c = ac+bc - yig’indining ko’paytmaga nisbatan taqsimot hossai ham o’rinlidir. Umuman (a+b+c+…+d) k=ak+bk+ck+ … +dk.
. Agar a N bo’lsa, a*a*…*a= - daraja deyiladi (bunda a-daraja asosi, n-daraja ko’rsatkichi). Masalan, 3*3*3*3= , 10*10*10= va hokazo.
Natural sonning natural ko’rsatkichlari darajasi ham natural son bo’ladi.

3. 
   Agar aN, bN bo’lib, a b bo’lsa, a-b N bo’ladi. a b bo’lsa, a-b natural son mavjud bo’lmaydi.
   

Natural sonlar to’plamida ixtiyoriy ikki natural sonning yig’indisi (ko’paytmasi)ga teng birgina natural son mavjud bo’lgani uchun N to’plam qo’shish va ko’paytirishga nisbatan yopiq to’plam deyiladi.

4. 
   TARIF. a N bo’lsa, 1a, 2a, 3a, 4a, … sonlariga, yani a ning ihtiyoriy naturl son bo’lga ko’paytmasiga a ning karralisi deyiladi.
   

3 ga karrali sonlarni 3n, 4 ga karrali sonlarni 4n (nN) va hokazo ko’paytirishda yozish mumkin.
2ga karrali sonlar juft sonlar, 2 ga karrali bo’lmagan sonlar esa toq sonlar deyiladi. Juft sonlar 2n (n N), toq sonlar esa 2n -1(nN) ko’rinishdagi formula bilan yoziladi. a soni b ga karrali bo’lsa, a soni b ga bo’linadi. Hususan, har qanday natural son 1 ga ham, o’ziga ham bo’linadi, yani a:1=a va a:a=1.
TUB VA MURAKKAB SONLAR. SONLARNING BO’LINISH ALOMATLARI. TUB KO’PAYTUVCHILARGA AJRATISH.
1-TARIF. Faqat birga va o’ziga bo’linadigan (birdan farqli) son tub son deb, birdan va o’zidan boshqa sonlarga ham bo’linadigan son murakkab son deb ataladi. Masalan, 2, 3, 11, 37 – tub sonlar, 4, 18, 46 – murakkab sonlar.
Natural sonlarning tub yoki murakkab ekanini aniqlashda sonlarning bo’lnish alomatlaridan foydalaniladi.

1. 
   2 ga va 5 ga bo’linish alomati.
   

Ohirgi raqmi 2(5) ga bo’linadigan yoki nol bo’lgan son 2(5) ga bo’linadi. Masalan, 64, 170, 206 sonlarining xar biri 2 ga, 55, 90, 2035 sonlarining xar biri esa 5 ga bo’linadi.

2. 
   3 ga va 9 ga bo’linish alomatlari.
   

Raqamlar yig’indisi 3 (9) ga bo’linadigan sonlar 3 (9) ga bo’linadi. Masalan, 25107 soni 3 ga, 44217 soni 9 ga bo’lindi.
v) 4 ga va 25 ga bo’linish alomatlari.
Ikkita nol bilan tugaydigan yoki ohirgi ikki raqmi 4 (25) ga bo’linadigan sonni ifodalaydigan sonlargina 4 (25) ga bo’linadi. Masalan, 312 soni 4 ga, 2375 soni 25 ga, 900 soni esa 4 ga xam, 25 ga xam bo’linadi.
2-TARIF. Berilgan sonni tub ko’paytuvchilarga ajratish deb u sonni tub sonlarga ko’paytmasi shaklida tasvirlashga aytiladi.
Masalan, 42=2*3*7; 72=2*2*2*3*3= * va hokazo.
Bunda 2*3*7 ko’paytmaga 42 sonining, * ko’paytmaga esa 72 sonining tub ko’paytuvchilarga yoyilmasi ham deyiladi.
MASHQLAR:

1. 
   1) 3ga, 2)5 ga, 3)4 ga, 4)9 gabo’linadigan 4 xonali son yozing.
   
2. 
   Nima uchun 2 ga xamda 3 ga bo’linadigan son 6 ga bo’linadi, 3 ga va 5 ga bo’lingan son 15 ga xam bo’linadi?
   
3. 
   Quyidagi qaysi sonlar 6 ga; 15 ga; 18 ga; 75 ga bo’linadi: 72, 190, 450, 495, 5040, 6300?
   
4. 
   1) 15 ga, 2) 12 ga, 3)75 ga bo’linadigan besh honali son yozing.
   
5. 
   Quyidagi sonlarni tub ko’paytuvchilarga ajrating:
   

1. 
   108, 2) 150 3) 600 4) 1620.
   

ENG KATTA UMUMIY BO’LUVCHI VA ENG KICHIK UMUMIY BO’LINUVCHI

1-TARIF. Sonning bo’luvchisi deb shu son qaldiqsiz (yaxlit) bo’linadigan natural songa aytiladi. Masalan, 18 ning bo’luvchilari A={1; 2; 3; 6; 9; 18} to’plamni, 24 ning bo’luvchilari B={ 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} to’plamni tashkil etadi.
2-TARIF. Bir necha sonning umumiy bo’luvchisi deb u sonning har biri qoldiqsiz (yaxlit) bo’ladigan songa aytiladi. Masalan, 18 va 24 sonlarining umumiy bo’luvchilari 1, 2, 3 va6 dan iborat bo’lib, {1; 2; 3; 6} to’plamini tashkil etadi. Bu to’plam 18 xamda 24 sonlari bo’luvchilari to’plamlarining kesishmasidan iborat: A∩B={1; 2; 3; 6}.
3- TARIF. Berilgan soning eng katta umumiy bo’luvchisi deb shu sonlarning umumiy bo’luvchilari ichida eng kattasiga aytiladi. 18 va 24 sonlarining eng katta umumiy bo’luvchisi 6 bo’lib, D(18; 24) =6 kabi yoziladi.

1. 
   Bir necha sonning eng katta umumiy bo’luvchisini toppish uchun shu sonlarning har birini ko’paytuvchilarga ajratib, barcha sonlarning yoyilmalari uchun umumiy bo’lgan tub ko’paytuvchilar o’zaro ko’paytiriladi.
   

Masalan, 60, 150, 270, sonlarining eng katta umumiy bo’luvchisini topaylik: 60= *3*5; 150=2*3* , 270= 2* *5; D (60; 150 270)= 2*3*5=30.
4-TARIF. Bir necha sonning umumiy karralisi (bo’linuvchisi) deb shu sonlarning har biriga bo’linadigan songa aytiladi.
Masalan, 4 va 6 sonlarining umumiy bo’luvchisi 12, 24, 36, 48 va hokazo sonlardan ibort bo’lib, { 12; 24; 36; 48; … } to’plamni tashkil etadi. 4 ga karrali sonlar C={4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; … } to’plamni, 6 ga karrali sonlar D = { 6; 12; 18; 24; 30; 42; 48; …} to’plamni tashkil etadi. U holda 4 ga karrali sonlar to’plami (C) bilan 6 ga karrali sonlar to’plami (D) ning kesishmasi C∩D= {12; 24; 36; 48; … } 4 bilan 6 ga karrali sonlar to’plamini tashkil etadi.
5-Tarif. Bir necha sonning eng kichik umumiy karralisi (bo’linuvchisi) deb shu sonlarning karralilari (bo’linuvchilari) ichida eng kichigiga aytiladi.

2. 
   Bir necha sonning eng kichik umumiy karralisi(bo’linuvchisini) topish uchun shu sonninglarning har birini tub ko’paytuvchilariga ajiratib ,yoyilmalardan kamida birida qatnashgan tub sonlar ko’paytmasi olinadi.
   

Masalan , 28 ,70 va 84 sonlarining eng kichik umumiy karralisini topaylik:28= *7;70=2*5*7; 84= *3*7. K(28;70;84)= *3*5*7=420.
MASHQLAR.

1. 
   6, 28, 496 sonlarining xar biri o’z bo’luvchilarining (shu sonlarning o’zidan boshqa) yig’indisiga teng ekanini ko’rsating.
   
2. 
   (Og’zaki.) Toping 1) D(6; 21), 2),D (12; 30), 3) D (18; 27).
   
3. 
   (Og’zaki). 1)umumiy bog’lovchisi 6 ga , 2) eng katta umumiy bo’luvchisi 6ga teng bo’lganuchta son toping.
   
4. 
   Toping: 1) D(45; 105) 2) D (243; 405); 3) D (216; 864)
   

4) D (1360; 2700) 5) D (18; 24; 36) 6) D (16; 24; 48)

YIGINDI, AYIRMA VA KO’PAYTMANING BO’LINISHI

1. 
   Teorema. Agar qo’shiluvchi (a va b) larning har biri biror ( c ) songa bo’linsa, yig’indi ham shu songa bo’linadi.
   

ISBOT. a c, yani a=c va b c, yani b=c bo’lsin*.
Bundan a+b=c +c =c( + ). U holda c( + ) ko’paytmasi c ga bo’lingani uchun bu ko’paytmaga teng bo’lgan a+b ham c ga bo’linadi .c bo’ladi.
Umuman ,a,b,c, … ,d N, a c, b c, … ,d c bo’lsa, (a+b+d) c bo’ladi.
2-Teorema. Qo’shiluvchilardan biri biror songa bo’linib, ikkinchisi bo’linmasa, yig’indi shu songa bo’linmadi.
Umuman, a, b, … , c, d sonlardan ( bunda a, b, … , c, d  N) a k bo’lib, d k bo’lsa, (a+b+…+c+d) yig’indi. k ga bo’linmaydi.
3-Teorema. Agar kamayuvchi va ayiriluvchilarning har biri biror songa bo’linsa, ayirma ham shu songa bo’linadi, yani a c, b c bo’lsa, (a-b) c bo’ladi.
ISBOT: a c bo’lsa, a= c, b c bo’lsa b= c bo’ladi. U holda a-b= c- c =( - )c c bo’lganida (a-b) c bo’ladi.
4-TEOREMA. Agar kamayuvchi yoki ayriluvchidan biri biror songa bo’linib, ikkinchisi shu songa bo’linmasa, ayirma ham shu songa bo’linmaydi.
5-TEOREMA. Ko’paytuvchilardan biri biror songa bo’linsa, ko’paytma ham shu songa bo’linadi.
6-TEOREMA. Biror son ikki natural sonning ko’paytmsiga bo’linsa, ko’paytuvchilarning har biriga han bo’linadi.
Manfiy bo’lmagan butun sonlar to’plami. Qoldiqli bo’lish
Natural sonlar to’plami nol bilan birgalikda manfy bo’lmgan butun sonlar to’plamini hosil qiladi. Bu to’plamni bilan belgilaymiz:
={0; 1; 2; 3; 4; 5; …; n; …}.
Nol kamayuvchi ayriluvchiga teng bo’ladigan ayirma deb qarash mumkin, ya’n
a-a=0
Nol bilan bajariladigan amallarni ko’rsatamiz:
a+0=0+a=a (hususiy holda 0+0=0)
a-o=a (hususiy holda 0-0=0)
a*0=0*a=0 (hususiy holda 0*0=0)
Agar a o bo’lsa, 0:a=0, a:0=0 mavjud emas. Faraz qilaylik, a0 bo’lib, a:0 mavjud va u biror b songa teng bo’lsin, yani a:0=b. U holda a=b*0 bo’lib, a=0 bolishi kerak. Bu esa frazga zid, yani nolga bo;lish mumkin emas.
TARIF. (Qoldiqli bo’lish haqida) a sonini b(bN) soniga bo’lish deb
a=bq+r
ko’rinishida yozilishiga aytiladi. Bunda 01-TEOREMA. a mnfiy bo’lmagan butun son, b natural son bo’lsa, hamma vaqt
A=bq+r va 0shartni qanoatlantiradigan manfiy bo’lmagan bir juft butun son (q- bo’linma va r- qoldiq) mavjud bo’ladi.
Masalan, 35 ni 8 ga bo’lsak bo’linma 4 va qoldiq 3 ni topamiz: 35=8*4+3.
r=0 bo’lsa, a=bq bo’lib, a soni b ga qoldiqsiz bo’linadi.
Ikkiga bo’lganda qoldiq qoldiq qadigan (toq) sonlarni 2k+1(k ) formula ko’rinishida, 7 ga bo’lganda 4 qoldiq qoladigan sonlarni 7m+4(m ) formula ko’rinishida yoziladi va hokazo.

ODDIY KASRLAR VA ULARNING ASOSLARI

1-Tarif. kasr deb birlikning bitta yoki bir nechta teng bo’lak (ulush) larini ifodalovchi songa aytiladi.
Masalan, birlik 5 ta teng bo’lakka bo’linib undan uchtasi olinsa, kabi yoziladi va beshdan uch kabi o’qiladi. Bunda 3 kasr surati 5 esa kasr mahraji 3 bilan 5 kasr hadlari, chiziqcha esa kasr chizig’I deb ataladi.

1. 
   Kasrning asosiy xossasi. Agar kasrning surat va maxraji bir hil son marta orttirilsa yoki kamaytirilsa, kasrning qiymati o’zgarmaydi.
   

Masalan, = = = = . . . yoki = = = . Umuman: hamda .
Agar ikki kasirning mahrajlari bir xil bo’lib, suratlari har xil bo’lsa, surati katta bo’lmagan kasr katta hisoblanadi, suratlari bir hil bo’lib, maxrajlari xar hil bo’lsa, maxraji kichik bo’lgan kasr katta bo’ladi. Masalan, (chunki 4>3) < (chunki 10>7).
II.Kasrlarni qisqartirish. 2-tarif. Kasrni qisqartirish deb uning surat va maxraji noldan farqli bir (butun) song abo’lib, berilgan kasrga teng, ammo xadlari kichik bo’lgan boshqa kasr bilan almashtirishga aytiladi.
Masalan, kasrning surat va maxraji 12 ga bo’lib, kasrni hosil qilamiz.
III.Hadlarning o’zgarishi bilan kasr qiymatining o’zgarishi. Agar kasrning mahrajini o’zgartirmay, surati bir necha marta orttirilsa (kamaytirilsa)yoki kasrning surati o’zgartirilmay, mahraji bir necha marta kamaytirilsa (orttirilsa) , kasr shuncha marta ortadi (kamayadi).
Masalan , kasrdan =kasr yoki = kasr 3 marta katta, kasrdan = kasr yoki = kasr 2 marta kichik.
IV.To’g’ri va noto’g’ri kasr aralash son. 3-tarif. Kasrning maraji suratidan kichik bo’lsa, to’g’ri kasr deb, surati maxrajiga teng yoki katta bo’lsa, noto’g’ri kasr deb ataladi.
Noto’g’ri kasr 1 ga teng yoki 1 dan katta bo’lgani uchun to’g’ri kasrdan katta bo’ladi.
4- tarif. Butun son va kasrdan tuzilgan son aralash son deb ataladi.
Masalan, , sonlar aralash sonlardir.
Noto’g’ri kasrni aralash songa va aralash sonni noto’g’ri kasrga aylantirish mumkin.

1. 
   Noto’g’ri kasrni aralash songa aylantirish uchun uning suratini maxrajiga bo’lib, bo’linmani butun qilib yozish, qoldiqni esa surat qilib, maxrajni maxraj qilib yozish kerak. Masalan, =3 , =
   
2. 
   Aralash sonni noto’g’ri kasrga aylantirish uchun maxrajni butun songa ko’paytirish va ko’paytmaga suratni qo’shib, yig’indini surat qilib, maxrajni esa maxraj qilib yoziladi. Masalan, 3 = = .
   

Butun sonni berilgan maxrajli noto’g’ri kasrga aylantirish mumkin. Masalan, 7 ni 3 maxrajli noto’g’ri kasrga aylantirsak, = .
V . Kasirlarni eng kichik umumiy maxrajga keltirish . , va kasrlarni umumiy maxrajga keltirish uchun bu kasrlar maxrajlarining (3, 4 va 6 ning) eng kichik umumiy karralisi (12) topiladi. 1-kasrni 4 ga, 2-sini 3 ga, 3-sini 2 ga ko’paytirilib, , , , hosil qilinadi.
Suratlari ham, maxrajlari ham bir xil bo’lmagani ikki kasrni taqqoslash uchun oldin ular umumiy maxrajga keltiriladi. Masalan, va kasrlarni taqqoslash uchun umumiy maxrajga keltiramiz: va , > bo’lgani uchun > bo’ladi.

ONLI KASRLR VA ULARNING ASOSIY XOSSALARI

1-TARIF. Maxrai bir va undan keyingi raqamlari no’llardan iborat bo’lgan kasrga o’nli kasr deyiladi.
Masalan, , , - o’nli kasrlar.
Odatda o’nli kasrlar maxrajsiz yoziladi. Masalan, 3 =3,9; 4 =4,23.
I.O’nli kasrlarni taqqoslash. Ikkita o’nli kasrdan qaysi birining butunlari soni katta bo’lsa, o’sha kasr katta bo’ladi; butunlari teng bo’lgan holda qaysi kasrning o’nli ulushi katta bo’lsa, o’sha kasr katta bo’ladi; butunlari hamda o’nli ulushlari teng bo’lgan xolda qaysi kasrda yuzdan bir ulushlari katta bo’lsa, o’sha kasr katta bo’ladi va xokazo. Masalan, 3,012 > 2,999 (chunki 3>2); 0,8149 < 0,8221 (chunki 1<2).
II. O’nli kasrlarning asosiy xossalari 1. O’nli kasrlarning o’ng tomoniga nollar yozilsa yoki ohiridagi nollar tashlab yuborilsa, uning qiymati o’zgarmaydi, masalan, 3,48 = 3,480 = 3,4800.
2.O’nli kasrdagi vergulni bir, ikki, uch va hokazo hona o’ng (chap) tomonga surilsa, kasr mos olda 10, 100, 1000 va hokazo marta ortadi va kamayadi. Masalan 31,746 dan 3174,6 kasr 100 marta katta, 3,1746 kasr esa 10 marta kichikdir.
O’nli kasrni 10, 100, 1000 va hokazo sonlarga ko’paytirish (bo’lish) uchun ko’paytuvchida nechta no’l bo’lsa, ko’payuvchi (bolinuvchi) dagi vergulni shuncha xona o’ngga (chaoga) surish kerak.
Masalan, 4,219*100=421,9; 1,0008*1000=1000,8; 71,8:10=7,18 5,4 :1000= 0,0054.
III.O’nli kasrlarni yalitlash. O’nli kasrlarni yaxlitlashda tashlanadigan raqamlarning birinchisi (chapdan) 5 dan kichik bo’lsa, oxirgi qoldiriladigan raqam o’zgartirilmaydi; tashlanadigan raqam 5 yoki 5 dan katta bo’lsa, oxirgi qoldiriladigan raqam bitta birlik orttiriladi. Masalan, 8,7547 ni 0,1 aniqlikda yaxlitlasak, 8,8; 0,01 aniqlikda yaxlitlasak, 8,75 bo’ladi.
O’NLI KASRLAR USTIDA AMALLAR. AMALLARNING TARTIBI
I.Qo’shish va ayirish. Ikki o’nli kasrni qo’shish (ayirish) uchun ularning butun qismi ostiga, vergul vergul ostiga, kasr qismi kasr qismi ostiga yozilib, butun sonlarni qo’shish (ayirish) kabi qo’shiladi (ayiriladi) va natijada vergul vergullar ostiga qo’yiladi.
Masalan: 1) 14,8171

II.Ko’paytirish. O’nli kasrni o’nli kasrga ko’paytirish uchun vergullariga etibor qilmadan, butun sonlar kabi ko’paytirish va ko’payuvchi bilan ko’paytuvchining xar ikkalasida nechta kasr onasi bo’lsa, ko’paytmaada o’ndan shuncha kasr xonani vergul bilan ajratish kerak. Masalan :

III.O’nli kasrni butun songa bo’lish. O’nli kasrni butun songa bo’lish butun sonlarni bo’lish kabi bsajariladi. Bundan chiqqan qoldiqlar brogan sari mayda ulushlarga aylana boradi; bo’lish natijasida qoldiqda no’l hosil bolsa, aniq bo’linma xosil bo’ladi.
Masalan, 1) 3,846 ni 6 ga bo’lsak, 0,641 aniq bo’linma hosil bo’ladi; 2) 3,1 ni 8 ga bo’lsak, 0,387 taqribiy bo’linma xosil bo’ladi. Bunda 1) 3,846:6=0,641; 2) 3,1: 80,387 kabi ko’rinishda yozish mumkin.
Agar 72,81 : 31 bo’linmani topish talab qilinsa, bo’linmada 2,348709… hosil bo’lib, qoldiq qolaveradi bunda natija talab qilingan aniqlikda yaxlitlanishi mumkin.
IV.Sonni o’nli kasrga bo’lish. Biror sonni o’nli kasrga bo’lish uchun bo’luvchidagi vergulni tashlab yuborish va natijada bo’luvchi necha marta ortgan bo’lsa, bo’linuvchi ham chuncha marta ortishi hamda bo’lish amalini bajarish kerak. Masalan, 3,15 ni 1,4 ga bo’lish uchun bo’luvchidagi vergulni tashlab yuboramiz va natijada bo’luvchi 10 marta ortgani uchunbo’linuvchini ham 10 marta orttirib, 31,5 ni 14 ga bo’lamiz.
V.Amallarni tartibi. Qo’shish va ayirish birinchi bosqich amallari deb, ko’paytirish va bo’lish ikkinchi bosqich amallari deb ataladi
Amallar quyidagi tartibda bajariladi:

1. 
   Bir hil bosqich amallari yozilishi tartibi bo’yicha bajariladi.
   

Masalan, 1) 7,5 -4+3,25=3,5+3,25=6,75; 2) 5,5*2:0,5=11:0,5=22.

2. 
   Agar berilgan misolni ishlashda turli bosqich amalari bo’lsa, avval yuqori bosqich amallari, so’ngra quyi bosqich amallari bajariladi. Masalan, 1) 17,4-3,5*2=17,4-7=10,4; 2)5,8*5+2*0,5=29+1=30.
   
3. 
   Qavslar ichiga olingan sonlar ustidagi amallar oldin bajariladi. Masalan, 40,6-8*(5-4,5)=40,6-8*0,5=40,6-4=36,6
   

ODDIY KASRLAR USTIDA AMALLAR

I.Qo’shish va ayirish 1. Bir hil marajli kasrlarni qo’shish (ayirish ) uchun ularning suratlarini qo’shib (ayirib), o’sha maxrajlarning o’zini qoldirish, hosil bo’lgan kasr qisqarsa, qisqartirish kerak.
Masalan, 1) - = = ; 2) + + + = = .
Umuman = ; + +…+ = .
2.Xar hil maxrajli kasrlarni qo’shish (ayirish) uchun dastlab ular umumiy maxrajga keltiriladi, so’ngra qo’shiladi (ayiriladi). Masalan, + = + = ; = .

3. 
   Aralash sonlarni qo’shish (ayirish) uchun sonlarning kasr qisimlari umumiy maxrajga keltirilib, butun va kasr qismlari ketma-ket qo’shiladi (ayiriladi). Masalan, 13 + 4 = 17 =18 ;
   

5 – 3 = 5

4. 
   Aralash sondan aralash sonni ayirgandaa kamayuvchi kasr ayiruvchi kasrdan kichik bo’lsa, kamayuvchi aralash sonning bir butunini o’ziga tegishli kasr qismidagi ulushlarga maydalab, kamayuvchining kasr qismiga qo’shish va ayirish va so’ngra ayirish kerak. Maslan, 3 ;
   

II.Ko’paytirish. Kasrni kasrga ko’paytirish uchun ular suratlarning ko’paytmasi surat qilib mahrajlari ko’paytmasi mahraj qilib yoziadi.
MASALAN. * = = ; * * = = ;
Umuman * - yoki * *… * = .
Ko’paytirishda lozim bo’lgan hollarda qisqartirish kerak.
Masalan * = = =
III.Bo’lish. kasrni kasrni bo’lish uchun birinchi kasirning suratini ikkinchi kasrning mahrajiga ko’paytirib,natijani surat qilib yozish, birinchi kasrning mahrajini ikkinchi kasrning suratiga ko’paytirib, natijani mahraj qilib yozish kerak.
Masalan; : = = . Umuman :

1. 
   Izoh. Kopaytuvchilardan (bo’luvchi va bo’linuvchilardan) biri yoki har ikkalasi aralash son bo’lsa, aralash sonlarni noto’g’ri kasrga aylantirilib, so’ngra ko’paytiriladi (bo’linadi). Masalan, 2 .
   

2-Izoh. Ko’payuvchilardan ( bo’linuvchi yoki bo’luvchilardan) biri butun son bo’lsa, uni maxraji 1 ga teng bo’lgan kasr son deb qarash mumkin. Masalan, 7* ;
TARIF. (o’zaro teskari sonlar.) Berilgan son (a) ga teskari son deb birning shu songa nisbati ( ) ga aylantiriladi. Masalan, 3 va va 4; n va o’zaro teskari sonlardir. kasrga teskari son 1: = dan iborat.
Tarifdan o’zaro teskari sonlar ko’paytmasi 1 ga teng ekani bevosita kelib chiqadi.
Bir sonni ikkinchi songa bolish o’rniga birinchi sonni ikkinchisiga teskari bo’lgan songa ko’paytirish kerak, yani : .
ODDIY KASrNI O’NLI KASr SHAKLIDA YOZISH
Oddiy kasrning surati (3) ni maxraji (20) ga bo’lsak, 0,15 hosil bo’ladi. Demak, = 0,15. Huddi, shuningdek, .
Demak, oddiy kasrni o’nli kasr shaklida yozish uchun oddiy kasr suratini maxrajga bo’lib, bo’linmani yozish kerak ekan.
oddiy kasrning suratini maxrajga bo’sak, o’nli kasr hosil bo’lmaydi.Bu xolda bo’lish jarayoni cheksiz davom eta borib, 0,666 … hosil bo’ladi. 0,6666 … ga cheksiz o’nli kasr deyiladi. Shuningdek, =2,272727 ham cheksiz o’nli kasrdir.
kasrning maxrajini 20= *5 kabi yozish mumkin bo’lgani uchun kabi yozamiz. Bu kasrning surat va maxrjini 5 ga ko’paytirsak, = =0,15 hosil bo’ladi.
10, 100, 1000, . . . sonlar 3 ga qoldiqsiz bo’linmagani uchun , kasrning surat va maxrajni biror songa ko’paytirish natijasida maxrajda 10, 100, 1000, . . . hosil bo’lmaydi, yani uni o’nli kasr shaklida maxrajsiz yozish mumkin emas.
Teorema. Qisqarmaydigan oddiy kasr maxrajining tub ko’paytuvchilarga yoyilmasida 2 va 5 dan boshqa tub sonlar qatnashmasa, uni o’nli kasr shaklida yozish mumkin emas (cheksiz o’nli kasr ko’rinishida yozish mumkin).
Agar oddiy kasr o’nli kasrga aylanmas, uni berilgan aniqlikda yaxlitlash bilan taqriban o’nli kasr ko’rinishda yozish mumkin.
Bazi misol yoki masalalarni ishlashda ham oddiy, ham o’nli kasrlar bilan amallar bajarishga to’g’ri keladi. Bunday hollarda misollarni quyidagi usullar bilan ishlash mumkin:

1. 
   Hamma kasrlarni o’nli kasrga aylantirish usuli:
   

(1 + 0,5)*( 3 – 0,6)=(1,75 + 0,5) *(3,2 - 0,6)=2,25 * 2,6=5,85.

2. 
   Hamma kasrlarni oddiy kasrga aylantirish usuli:
   

((4 +2,5) * ) : ((13,41 – 4,01): )=((4 )* ):((13 - 4 ) : )= (4 * ):(9 : ) = ( * ): ( * )= .
MUSBAT VA MANFIY SONLAR. KORDINATA TO’G’RI CHIZIG’I. SONNING ABSALYUT QIYMATI
Termometr shkalasida havoning temperaturasi no’lda boshlab ikki qarama qarshi yo’nalishda o’lchanadi. Agar simob ustuni shkalasining no’ldan yuqori tomon yo’nalishidagi sonlarni ko’rsatsa, temperatura , va hokazo yoki , va hokazo sonlar bilan belgilanadi. Agar simob ustuni shkalaning no’ldan pastki tomon (yani qarama-qarshi) yo’nalishdagi sonlarni ko’rsatsa, - , - , - , - , - va xokazo sonlar bilan belgilanadi va ular manfiy sonlar deyiladi. Bu misolda musbat sonlar issiqlikni, manfiy sonlar esa sovuqni bildiradi.
No’l gradusli temperatura issiqni ham, sovuqni ham bildirmaydi. No’l musbat son ham emas, manfiy son ham emas.
Biror to’g’I chiziq ustida ihtiyoriy ,,O’’ nuqta (sanoq boshi) ni belgilab, uning o’ng va chap tomoniga biror birlik kesmani masalan, 1 sm)ni ketma-ket joylashtiramiz. O’ng tomondagi kesmalar uchini 1,2,3,4 va hokazo sonlar bilan belgilab, musbat yo’nalish deb olinadi va strelka qo’yiladi. Sanoq boshidan chap (qarama-qarshi) tomondagi kesmalarning uchini -1, -2, -3, -4 va hokazo sonlar bilan belgilaymiz. Bu to’g’ri chiziqda A nuqta 3 soniga, B nuqta -1 soniga mos keladi. Aksinch 2 soniga c nuqta, - soniga d nuqta mos keladi. ,,a soniga mos nuqta’’ deyish o’rniga ,,a’’ deyiladi.
1-tarif. Har bir nuqtasi biror sonni tasvirlovchi to’g’ri chiziqqa koordinata to’g’ri chizig’i (sonlar to’g’ri chizig’i ) deyiladi.
Koordinat to’g’ri chizig’idagi nuqtaga mos kelgan songa shu nuqtaning koordinatasi deyiladi. Masalan A nuqtaning koordinatasi 3 bo’lib, A (3 ) kabi, B nuqtaning kordinatasi - bo’lib, B (1 ) kabi yoziladi.
2-tarif. Faqat ishorasi bilangina farq qiladigan ikki songa qarama-qarshi sonlar deb ataladi.
5 bilan -5, 2 bilan -2 sonlari qarama-qarshi sonlardir.
a ga qarama- qarshi son –a bo’lib, a+(-a)=0 . Koordinatalari qarama qarshi sonlar bo’lgan nuqtalar koordinata to’g’ri chizig’ida 0 nuqta (sanoq boshi)dan har ikki tomonda bir hil masofada joylashgan bo’ladi.
Natural sonlarga qarama-qarshi bo’lgan -1; -2; -3; -4; -5; -6; … sonlar manfiy butun sonlar to’plamini tashkil etadi.
Barcha natural sonlar, no’l soni hamda barcha manfiy butun sonlar birgalikda butun sonlar to’plamini tashki etazi Z bilan belgilanadi. Butun sonlar to’plami qo’shish va ko’paytirish amallaridan tashqari ayirish amaliga nisbatan ham yopiq to’plamdir, chunki a, bZ bo’lsa a (a-b) Z hamda (b-a) Z bo’ladi.
3-tarif. Sonning moduli deb koordinata to’g’ri chizig’ida sanoq boshidan shu songa mos nuqtagacha bo’lgan masofaga aytiladi.
-1 soniga V nuqta mos keladi. Sanoq boshida V nuqtagacha masofa 1 birlikka teng. Shuning uchun - ning moduli 1 birlikka teng bo’ladi va - = 1 kabi yoziladi. shuningdek, 2 =2 ; 0,5=0,5; 0=0. Sonning moduli manfiy son bo’lmaydi.
Manfiy sonning moduli umga qarama-qarshi bo’lgan songa teng, musbat sonning va no’lning moduli esa shu sonning o’ziga teng, yani a 0 bo’lsa, a=a, a<0 bo’lsa, a= -a bo’ladi.
Ko’paytma va yig’indining moduli. 1. Ko’paytaning moduli ko’paytuvchilar modullarining ko’paytmasiga teng, yani a*b=a*b. 2. Yig’indining moduli qo’shiluvchilar modullarining yig’indisidan katta emas, yani:
a+b a+b
Haqiqatan ham, a bilan b bir xil ishorali sonlar bo’lsa, a+b=a+b bo’ladi, har hil ishorali sonlar bo’lsa , a+b<a+b bo’ladi. Demak a+b a+b.
RATSIONAL SONLAR TO’PLAMI. RATSIOMAL SONLAR BILAN AMALLAR
Butun sonlar to’plami bilan kasr (musbat va manfiy) sonlar to’lami bilan sonlar to’pamini tashkil etadi. pZ va qN bo’lsa, ko’rinishdagi barcha sonlar ratsional sonlar to’pamini tashkil etadi. Ratsional sonlar to’plami Q bilan belgilanadi.
Har qanday butun son ratsional son bo’lganidan butun sonlar to’plamini ratsional sonlarning qism to’plamidir, yani ZQ.
Ihtiyoriy ikki ratsional sondan qaysi biri koordinata to’g’ri chizig’ida o’ngda joylashgan nuqta bilan tasvirlansa, o’shanisi katta bo’ladi. 1. Har qanday musbat son no’ldan va har qanday manfiy sondan katt(4>-5; 1>0; 8> -9). 2. No’l har qanday manfiy sondan katta (0> -5; 0>-51) 3. Ikki manfiy sondan qaysi birining absalyut qiymati kichik bo’lsa, o’shanisi katta (-2>-5; -9>-12).
A to’plam Bto’plamning qism- to’plami bo’lsin, yani AB. B to’plamning A to’plamga tegishli bo’lmagan brcha elementlaridan iborat bo’lgan to’plam A to’plamning B to’plamga to’ldirmasi deyiladi. Masalan A={1; 2; 5} to’plamning B={0; 1; 2; 3; 4; 5} to’plamga to’ldirmasi {0; 3; 4} to’plamdan iborat to’plamning Z to’plamga to’ldirmasi barcha manfiy butun sonlar to’plamidan iborat. Bu va Zto’plamlar orasidagi munosabat. N,Z va Q to’plamlar orasidagi munosabat esa “Eylar doiralari” yordamida tasvirlangan.
Qo’shish. Bir hil ishorli ikta sonni qo’hish uchun ularni absolyut qiymatlarni qo’shib, yig’indining oldiga ularning ishorasi qo’yiladi; qarama-qarshi ishorali ikkita sonni qo’shish uchun absolyut qiymati katta bo’lgan sonning ishorasi qo’yladi.
Masalan, (+3)+(+8)=+11; (-7)+(-2)=-9; (-13)+(+7)=-6
Qarama-qarshi sonlarning yig’indisi nolga teng bo’lgan ikki son qarama-qarshi son deyiladi.
Qo’shiluvchilaridan biri nolga teng bo’lsa, yig’indi ikkinchi qo’shiluvchiga teng bo’ladi, yani (+3)+0=+3; 0+(-5)=-5
Bir nechta (ikkitadan ortiq) ratsional sonlarni qo’shish uchun avval oldingi ikkitasining yeg’indisini topib, so’ngra bu yig’indi bilan uchinchi sonni qo’shish kerak va hokazo.
Ayirish. Bir sondan ikkinchi sonni ayirish uchun kamayuvchiga ayriluvchiga qarama-qarshi sonni qo’shish kerak.
Ko’paytirish (bo’lish) bir hil ishorali ikki sonning ko’paytmasi (bo’linmsi) ular modullarining plyus ishra bilan olingan ko’paytmasiga (bo’linmasiga), har hil ishorali ishorali ikki sonning ko’paytmasi (bo’linmasi) bu sonlar modullarining minus ishora bilan olingan ko’paytmasiga (bo’linmasiga) teng.
Bir necha sonni o’zaro ko’paytirganda manfiy ko’payuvchilar soni juft bo’lsa, ko’paytma musbat, manfiy ko’payuvchilar soni toq bo’lsa, ko’paytma manfiy bo’ladi.
Daraja ko’tarish. 1-tarif. Har biri a ga teng bo’lgan n ta ko’paytuvchining (N>1 va nN) ko’paytmasiga a sonning ko’rsatkichi n ga teng bo’lgan darajasi deb ataladi. a sonining ko’rsatkichi 1 ga teng bo’lgan darajasi deb a sonining o’ziga aytiladi.
2-tarif. Daraja (bir hil ko’paytuvchilar ko’paytmasi)ni topishga darajaga deb a ko’tarish amali deyiladi.
Musbat sonning ihtiyoriy natural ko’rsatkchli darajasi musbat son bo’lib, manfiy sonning juft ko’rsatkichlidarajasi musbat, toq ko’rsatkichli darajasi esa manfiy sondir.
Darajaga ko’tarish amali uchinchi bosqich amali bo’lib, misol ishlaganda barcha bosqich amallarini bajarish lozim bo’lib qolganda avvai uchinchi bosqich( darajaga ko’tarish) amali; so’ngra 2-bosqich va nihoyat 1-bosqich amali bajariladi.