To’plamini r orqali belgilaymiz

3-mavzu Haqiqiy sonning moduli va uning xossalari

T a ‘ r i f. Q ratsional sonlar to ‘plami bilan I irratsional sonlar to ‘plamining birlashmasi (yig’indisi) haqiqiy sonlar deb ataladi.

Haqiqiy sonlar to’plamini R orqali belgilaymiz: R=QI.
Q ratsional sonlar to’plamiga I irratsional sonlar to’plamini qo’shib, uni kengaytirsak, hosil bo’lgan R haqiqiy sonlar to’plami bilan son to’g’ri chizig’idagi nuqtalar to’plami orasida o’zaro bir qiymatii moslik o’matilgan bo’ladi. Yuqorida har bir ratsional son cheksiz davriy o’nii kasr bilan ifodalanishini ko’rdik. Har bir irratsional son esa cheksiz davriy bo’lmagan o’nii kasr bilan ifodalanadi.Shunday ekan, haqiqiy sonlar to’plamini quyidagicha ham ta’riflash mumkin: barcha cheksiz o’nii kasrlar to’plami haqiqiy sonlar deyiladi. Shunday qilib, R haqiqiy son,U cheksiz o’nii kasriar va T to’g’ri chiziqdagi nuqtalar to’plamlari orasida o’zaro bir qiymatii moslik mavjud((R U,UT)=>RT).
Endi musbat haqiqiy sonni cheksiz o’nii kasr ko’rinishida ifodalashni batafsil qaraymiz.
Agar x > 1 bo’lsa, u holda shunday n natural son topiladiki, n1 tengsizlik bajariladi. N son x sonning butun qismi deyilishi ilgaridan ma’lum, ya’ni n= [x]. Agar x< 1 bo’lsa, [x] = 0 bo’ladi.
Haqiqiy sonlar ustida amallar
Haqiqiy sonlaming istalgan aniqlikdagi o’nii yaqinlashishlarining kami va ortig’i bilan olingan taqribiy qiymatlari oldindan ma’lum qoidalarga ko’ra aniqlanadi. Agar a biror haqiqiy son, a — o’sha a sonning kami bilan olingan biror taqribiy qiymati, b esa o’sha a sonning ortig’i bilan olingan biror taqribiy qiymati bo’lsa, u holda a << b. a sonning ortig’i bilan olinadigan taqribiy qiymatlari shu sondagi o’nli ishora raqamlarining oxirgisiga 1 ni qo’shish vositasi bilan hosil bo’ladi.
1-ta’rif. a va b sonlarining yig’indisi deb, ularning kami bilan olingan har qanday taq-ribiy qiymatlari yig’indisidan katta, lekin ortig’i bilan olingan har qanday taqribiy qiy-matlari yig’indisidan kichik bo‘lgan uchinchi bir c songa aytiladi.
2-t a’ r i f. a va b manfiy bo’lmagan haqiqiy sonlarning ko’paytmasi deb, n istalgan manfiy bo’lmagan butun son bo’lganda a_n b_n <,c < a’_n b’_n tengsniikni qanoatlantiruvchi c songa aytiladi.
Shunday qilib, a va b musbat haqiqiy sonlami ko’paytirish degan so’z ularning kami bilan olingan har qanday taqribiy qiymatlari ko’paytmasidan katta, lekin ortig’i bilan olingan har qanday taqribiy qiymatlari ko’paytmasidan kichik bo’lgan uchinchi bir c haqiqiy sonni topish demakdir.
3-ta’rif. a sonining ikkinchi, uchinchi, to’rtinchi va hokazo darajasi deb har biri a bo‘lgan ikkita, uchta, to ‘rtta va hokazo ko ‘paytuvchilardan tuzilgan ko’paytmaga aytiladi.
Natural darajaga ko’tarish amalining kami va ortig’i bilan olingan taqribiy qiymatlari 2- qoidaga muvofiq aniqlanadi. Haqiqiy (irratsional) sonlar uchun teskari amallar ham rat-sional sonlar uchun bo’lgani kabi ta’riflanadi: chunonchi a sondan b sonni ayirish b + x yig’indi a songa teng bo’ladigan x sonni topish degan so’zdir va h.k.
Agar a yoki b sonlardan bin ratsional son bo’lib, chekli o’nii kasr bilan ifoda etilsa, u holda ko’rsatilgan ta’riflarda bunday sonning taqribiy qiymatlari o’rniga uning aniq qiy-matini olish kerak. Manfiy irratsional sonlar ustidagi amallar ham ratsional manfiy son-lar uchun berilgan qoidalarga muvofiq bajariladi. Irratsional sonlar ustidagi amallaming xossalari ham ratsional sonlar ustidagi amallaming xossalariga ega ekanligini aniqlash mumkin. Masalan: 1)a+b=b+a (qo’shishning o’rin almashtirish qonuni);
2) a + (b + c) = (a + b) + c (qo’shishning guruhlash qonuni);
3)a-b=b-a (ko’paytirishning o’rin almashtirish qonuni);
4) a-(b-c) = (a-b)-c (ko’paytirishning guruhlash qonuni);
5) a(b + c) = ab + ac (ko’paytirishning qo’shishga nisbatan taqsimot qonuni);
6) a1=a
Tengsizliklar bilan ifodalangan xossalar irratsional sonlar uchun ham o’z kuchini saq-laydi. Masalan, a > b va c > 0 bo’lsa, u holda a + c > b + c, ac > be bo’ladi; agar c<0 bo’lsa, u holda ac< be bo’ladi va hokazo.