Mavzu: Haqiqiy sonning moduli va uning asosiy xossalari

MUSTAQIL

ISH

Mavzu: Haqiqiy sonning moduli va uning asosiy xossalari.

Reja:

Haqiqiy sonlar.

Haqiqiy sonlar ustida amallar.

Haqiqiy sonning moduli.

Haqiqiy son modulining asosiy xossalari.

Tayanch soz va iboralar:Haqiqiy sonlar va ular ustida amallar,haqiqiy sonning moduli va uning asosiy xossalari.

Haqiqiy sonlar.

T a r i f. Q ratsional sonlar to plami bilan I irratsional sonlar to plamining birlashmasi (yigindisi) haqiqiy sonlar deb ataladi.

Haqiqiy sonlar toplamini R orqali belgilaymiz: R=Q(I.

Q ratsional sonlar toplamiga I irratsional sonlar toplamini qoshib, uni kengaytirsak, hosil bolgan R haqiqiy sonlar toplami bilan son togri chizigidagi nuqtalar toplami orasida ozaro bir qiymatii moslik omatilgan boladi. Yuqorida har bir ratsional son cheksiz davriy onii kasr bilan ifodalanishini kordik. Har bir irratsional son esa cheksiz davriy bolmagan onii kasr bilan ifodalanadi.Shunday ekan, haqiqiy sonlar toplamini quyidagicha ham tariflash mumkin: barcha cheksiz onii kasrlar toplami haqiqiy sonlar deyiladi. Shunday qilib, R haqiqiy son,U cheksiz onii kasriar va T togri chiziqdagi nuqtalar toplamlari orasida ozaro bir qiymatii moslik mavjud((R (U,U(T)=>R(T).

Endi musbat haqiqiy sonni cheksiz onii kasr korinishida ifodalashni batafsil qaraymiz.

Agar x > 1 bolsa, u holda shunday n natural son topiladiki, n

Haqiqiy sonlar ustida amallar

Haqiqiy sonlaming istalgan aniqlikdagi onii yaqinlashishlarining kami va ortigi bilan olingan taqribiy qiymatlari oldindan malum qoidalarga kora aniqlanadi. Agar a biror haqiqiy son, a osha a sonning kami bilan olingan biror taqribiy qiymati, b esa osha a sonning ortigi bilan olingan biror taqribiy qiymati bolsa, u holda a <(< b. a sonning ortigi bilan olinadigan taqribiy qiymatlari shu sondagi onli ishora raqamlarining oxirgisiga 1 ni qoshish vositasi bilan hosil boladi.

1-tarif. a va b sonlarining yigindisi deb, ularning kami bilan olingan har qanday taq-ribiy qiymatlari yigindisidan katta, lekin ortigi bilan olingan har qanday taqribiy qiy-matlari yigindisidan kichik bolgan uchinchi bir c songa aytiladi.

2-t a r i f. a va b manfiy bolmagan haqiqiy sonlarning kopaytmasi deb, n istalgan manfiy bolmagan butun son bolganda an bn <,c < an bn tengsniikni qanoatlantiruvchi c songa aytiladi.

Shunday qilib, a va b musbat haqiqiy sonlami kopaytirish degan soz ularning kami bilan olingan har qanday taqribiy qiymatlari kopaytmasidan katta, lekin ortigi bilan olingan har qanday taqribiy qiymatlari kopaytmasidan kichik bolgan uchinchi bir c haqiqiy sonni topish demakdir.

3-tarif. a sonining ikkinchi, uchinchi, tortinchi va hokazo darajasi deb har biri a bolgan ikkita, uchta, to rtta va hokazo ko paytuvchilardan tuzilgan kopaytmaga aytiladi.

Natural darajaga kotarish amalining kami va ortigi bilan olingan taqribiy qiymatlari 2- qoidaga muvofiq aniqlanadi. Haqiqiy (irratsional) sonlar uchun teskari amallar ham rat-sional sonlar uchun bolgani kabi tariflanadi: chunonchi a sondan b sonni ayirish b + x yigindi a songa teng boladigan x sonni topish degan sozdir va h.k.

Agar a yoki b sonlardan bin ratsional son bolib, chekli onii kasr bilan ifoda etilsa, u holda korsatilgan tariflarda bunday sonning taqribiy qiymatlari orniga uning aniq qiy-matini olish kerak. Manfiy irratsional sonlar ustidagi amallar ham ratsional manfiy son-lar uchun berilgan qoidalarga muvofiq bajariladi. Irratsional sonlar ustidagi amallaming xossalari ham ratsional sonlar ustidagi amallaming xossalariga ega ekanligini aniqlash mumkin. Masalan: 1)a+b=b+a (qoshishning orin almashtirish qonuni);

2) a + (b + c) = (a + b) + c (qoshishning guruhlash qonuni);

3)a-b=b-a (kopaytirishning orin almashtirish qonuni);

4) a-(b-c) = (a-b)-c (kopaytirishning guruhlash qonuni);

5) a(b + c) = ab + ac (kopaytirishning qoshishga nisbatan taqsimot qonuni);

6) a(1=a

Tengsizliklar bilan ifodalangan xossalar irratsional sonlar uchun ham oz kuchini saq-laydi. Masalan, a > b va c > 0 bolsa, u holda a + c > b + c, ac > be boladi; agar c<0 bolsa, u holda ac< be boladi va hokazo.

Haqiqiy sonning moduli va uning xossalari.Yigindi, ayirma, kopaytma va bolinmaning moduli

Absolyut miqdor tushunchasi matematikaning muhim tushunchalaridan bin hisoblanadi. Bu tushuncha tengsizliklar bilan uzviy boglangandir.

Tarif. a sonning absolyut qiymati (moduli) deb,agar u son nomanfiy bo Isa, a sonning o vga, agar u son manfly bo Isa, -a soniga aytiladi.a sonining absolyut qiymati \a \ korinishda belgilanadi.Haqiqiy son absolyut qiymatining tarifiga kora istalgan a haqiqiy son uchun \a\ = |- a\ va - |a| < a < \a\ (1) munosabat orinli.

Bu munosabatlami tekshirib koramiz. A=0 bolganda birinchi munosabatning bajari-lishi ravshan. Agar a > 0 bolsa, u holda \a\ = a, |- a\ = -(-a) = a . Birinchi tengsizlik bajariladi. Agar a< 0 bolsa, u holda \a\ = -a, |- a\ = -a boladi. Birinchi tengsizlik yana bajariladi. Ikkinchi tengsizlikning bajarilishini tekshiramiz. Agar a > 0 bolsa, u holda \a \ = a, yani a soni \a | bilan ustma-ust tushadi; agar a < 0 bolsa, u holda \a \ = -a yoki a = -\a \,yani a soni -\a \ bilan ustma-ust tushadi. Shunday qilib,ikkinchi tengsiz-lik ham bajariladi. Geometrik nuqtayi nazardan a haqiqiy sonning \a \ moduli son togri chizigida koordinata boshidan a nuqtagacha bolgan masofani ifodalaydi. Absolyut miqdor quyidagi muhim xossalarga ega.

1-teorema. |x| < a tengsizlik a < x < a tengsizlikka teng kuchli.

2-teorema. Ushbu |x|( a (4) tengsizlik a < x < a (5) tengsizlikka teng kuchli.

3-teorema. Agar |x| > a (6) bolsa, u holda x> a yoki x < -a boladi.

4-teorema. Agar \x \( a bolsa, u holda x( a yoki x( a boladi.

Natija. Ushbu x2

5-teorema. Yigindining absolyut qiymati qo shiluvchilar absolyut qiymatlarining yigindisidan katta bola olmaydi, yani x1 va x2 haqiqiy sonlar uchun |x1+x2|<|x1|+|x2| (9) tengsidik orinli.

6-teorema. Ikkita son ayirmasining absolyut qiymati bu sonlar absolyut qiymatlarining ayirmasidan katta yoki teng.

7-teorema. Ko paytmaning absolyut qiymati kopaytuvchilar absolyut qiymatlarining kopaytmaslga teng.

8-teorema. Ikki son bolinmasining absolyut qiymati bolinuvchi absolyut qiymatining boluvchi absolyut qiymatiga bolinganiga teng, ya'ni