To’plam tushunchasi. To’plamlar ustida bajariladigan amallar va ularning xossalari matematik mantiq elementlari: Reja

To’plam tushunchasi. To’plamlar ustida bajariladigan amallar va ularning xossalari matematik mantiq elementlari:

Reja:

1. 
   To’plam tushunchasi.
   
2. 
   To’plamlar ustida amallar.
   
3. 
   Universal to’plam tushunchasiI. To’ldiruvchi to’plam.
   
4. 
   To’plamlarga doir misollar.
   

         To’plam hozirgi zamonaviy matematikada eng muhim ahamiyatga ega bo’lib va u shu bilan birga matematikada boshlang’ich tushunchalaridan biridir.

         To’plam deganda ixtiyoriy obyektlarning ( narsalar va hodisalarning) majmuasi tushuniladi va bu obyektlarga uning elemenilari deb ataladi.

         Shuni ta’kidlash lozimki, to’plamga kiruvchi barcha elementlar bir nusxada va turli hisoblanadi yoki boshqacha qilib aytganda bir xil elementlar bo’lmaydi.

         To’plamni tashkil etuvchi elementlar soni chekli yoki cheksiz bo’lishiga qarab, chekli va cheksiz to’plamlar deyiladi.

         Misollar:

1)    Respublikamizdagi barcha viloyatlar soni to’plam bo’lib, viloyatlar uning elementlaridir.

2)      to’plam va   sonlar uning elementlari;

3)      dan   sonigacha bo’lgan natural sonlar to’plami;

4)       barcha natural sonlar to’plami;

5)      nolni o’z ichiga oluvchi barcha natural sonlar to’plami.

6)      barcha butun sonlar to’plami;

7)      - barcha rasioral sonlar to’plami.

8)      - barcha haqiqiy sonlar sonlar to’plami.

 

Birorta ham elementga ega bo’lmagan to’plamga bo’sh to’plam deb ataladi va u    simvol bilan belgalanadi.

 yozuv   to’plamning elementi va     to’plamga qarshli element emasligini bildiradi.

Ta’rif. 1.1. Agar   to’plamning har bir elementi   tuplamga ham tegishli bulsa   to’plam   to’plamning qism to’plami deyiladi va   bilan belgilanadi.

         Bu ta’rif qisqacha   matematik simvol bilan ifodalash mumkin.

Ikkita to’plam teng deyiladi,agar birining elementlari ikkinchining elementlari bo’lsa va aksincha,  ya’ni

  va 

har qanday to’plam o’z- o’ziga qism to’plam bo’ladi va u bo’sh tuplamni o’ziga saqlaydi, ya’ni   va  .

Agar    bulib,   va   bo’lsa, u holda   to’plamga   to’plamning xos qism to’plami va    va   larga xosmas qism to’plamlari deyiladi. Bo’sh tuplam va bitta elementdan iborat to’plam xos qism to’plamlarga ega emas.

Elementlarining o’zi ham to’plam bo’lgan to’plamlarga to’plamlar sistemasi deyiladi.

Masalan. Tekislikdagi barcha to’g’ri chiziqlar to’plam to’g’ri chiziqlar sistemasi bo’lib, bu to’g’ri chiziq o’z navbatida nuqtalardan iborat bo’lgan to’plam bo’ladi.

Ta’rif. 1.2.   va   to’plamlarnin barcha umumiy elementlaridan tuzilgan to’plamga   va   to’plamlarning kesishmasi deyiladi. To’plamlarning kesishmasi

shaklda ifodalanadi.

Masalan,   va   bo’lsa, u holda   bo’ladi.        

Bu ta’rifdan quyidagi xossalar kelib chiqadi.

Xossa. 1.3.

1. 

2.    (kommutativlik xossasi).

3. (assosiativlik xossasi).

4.     va 

5. Agar   va   bo’lsa, u holda   

Ta’rif.1.4.    to’plamga   va   to’plamlarning yig’indisi (birlashmasi) deyiladi.

Masalan, agar   va   bo’lsa, u holda  .

Bu ta’rifdan quyidagi xossalarni o’rinli bo’lishligi o’rniga bevosita kelib chiqadi.

     Xossa.1.5.

1. 

2.  (kommutativlik xossasi)

3.   (assosiativlik xossasi)

4.    va 

5. Agar   va   bo’lsa,   bo’ladi.

Bundan tashqari   to’plamlar uchun kesishmani va yig’indini bog’lovchi quyidagi xossalar ham o’rinlidir.

     Xossa 1.6.

1. 

2. 

keltirilgan xossalardan masalan xossa 1.6.1 o’rinli bo’lishligini ko’rsatamiz.

Isbot.   yoki  , bundan   hosil bo’ladi va  demak   va   bo’lib,   ni hosil qilamiz. Xudi shu usulda o’ngdan chapga qarab, mulohaza yuritilsa xossadagi tenglikning to’g’ri ekanligiga kelamiz.

Yuqoridagi barcha xossalarni to’g’ri bo’lishligini ko’rsatishni biz o’quvchining ixtiyoriga havola qilamiz.

Ta’rif 1.7.   to’plamning   to’plamga kirgan elementlar   to’plamga   va   to’plamlarning ayirmasi deyiladi.   

Masalan,   va   bo’lsa, u holda   va  .

Agar   qism to’plam bo’lsa, u holda   simvol   ning   gacha bo’lgan to’ldiruvchisi deb ham ataladi. Agar   deb olsak, unda   bo’ladi.