To‘liqlik haqida teorema

2-holning isboti. Avval quyidagi lemmani isbot qilamiz.
Lemma. va formulalarning ifodasiga kiruvchi hamma o‘zgaruvchilar va bu o‘zgaruvchilarning ixtiyoriy qiymatlar satri esa bo‘lsin. Agar bo‘lsa, u holda = bo‘ladi.
Isbot. Lemmaning isbotini, formulaning tuzilishini hisobga olgan holda, induksiya metodi bilan amalga oshiramiz.
a) formula dan farq qiluvchi o‘zgaruvchi bo‘lsin. U holda
_i, ;
, ,
ya’ni lemmaning tasdig‘i to‘g‘ri bo‘ladi.
b) formula, o‘zgaruvchi bo‘lsin. U vaqtda o‘rniga qo‘yish ni beradi va
= ,
ni olamiz, ya’ni lemmaning tasdig‘i yana to‘g‘ri bo‘ladi.
v) hamda va formulalar uchun lemmaning shartlari bajarilsin. U vaqtda formula uchun lemma tasdig‘ining to‘g‘riligi quyidagi tengliklardan kelib chiqadi:
= =
=
= = = .
bo‘lgan hol uchun ham lemmaning tasdig‘i yuqoridagiday isbotlanadi. Endi 2-holning isbotiga o‘tamiz.
Lemma. -berilgan formula, -o‘zgaruvchi, -mulohazalar hisobining istalgan formulasi bo‘lsin. Agar aynan chin formula bo‘lsa, u vaqtda formula ham aynan chin formula bo‘ladi.
Isbot. lar va formulalar ifodasiga kiruvchi o‘zgaruvchilar bo‘lsin. O‘zgaruvchilarning hamma 2ⁿ⁺¹ ta qiymatlar satrida formula chin qiymat qabul qilishini ko‘rsatish lozim. formula aynan chin formula emas deb faraz qilamiz. U holda shunday qiymatlar satri topilib,

bo‘ladi. Bundan o‘z navbatida lemma shartiga asosan ekanligini topamiz. Ammo bu ning aynan chin formula ekanligiga ziddir. Demak, hamma qiymat-lar satrida formula chin qiymat qabul qiladi va u aynan chindir.