Tizimlar va signallarni qayta ishlash

Tasodifiy jarayonlar va ularning sonli xarakteristikalari

Aloqa liniyasi bo‘yicha oldindan qanday signal uzatilishi no'malumdir, shuning uchun ularni tasodifiy jarayonlar deb qarash mumkin.

Tasodifiy jarayon deb vaqtga bog‘lik bo‘lgan va kechishi oldindan noma'lum bo‘lgan jarayonga aytiladi. Chunki oldindan qanday signallar uzatiladi va ularga qanday ko‘rinishdagi xalaqitlar ta'sir qiladi noma'lumdir.
Tasodifiy jarayon–deb ehtimollik xarakteristikalari vaqtga bog‘lik bo‘lgan tasodifiy miqdorga aytiladi.
Tasodifiy jarayonning xar bir konkret ko‘rinishiga uning realizasiyasi deyiladi.
Tasodifiy jarayonning realizasiyalar to‘plamiga tasodifiy jarayonning ansambli deb ataladi.

8.6-rasm. Tasodifiy jarayonning realizasiyalari ansambli

Tasodifiy jarayonning kesimi deb, vaqtning biror bir vaqt momentidagi tasodifiy jarayonning qabul qilishi mumkin bo‘lgan qiymatlarini to‘plamiga aytiladi (8.7-rasm).

8.7-rasm. Tasodifiy jarayonning realizasiyalari ansambli kesimi

8.8-rasm. Tasodifiy jarayonning ikkita t₁ va t₂ vaqt momentlaridagi kesimlari

Tasodifiy jarayon aniqlangan deyiladi, agar uning ko‘p o‘lchovli taqsimot qonuni berilgan bo‘lsa.

Tasodifiy jarayonni bir o‘lchovli taqsimot qonuni (ehtimollik zichligi):

Tasodifiy jarayonni ikki o‘lchovli taqsimot qonuni:

Tasodifiy jarayonni L- ulchovli taqsimot qonuni:

Tasodifiy jarayonlarning sonli xarakteristikalari ikki xil usulda aniqlanishi mumkin.

1. Tasodifiy jarayonning ansambli bo‘yicha sonli xarakteristikalari.
2. Tasodifiy jarayonning bitta realizasiyasi orqali vaqt buyicha aniqlangan sonli xarakteristikalari.
Tasodifiy jarayonning ansambli bo‘yicha aniqlangan matematik kutilmasi:




8.9-rasm. Tasodifiy jarayonning ansambli bo‘yicha aniqlangan matematik kutilmasi

Tasodifiy jarayonning ansambli bo‘yicha aniqlangan dispersiyasi:

8.10-rasm. Tasodifiy jarayonning ansambli bo‘yicha aniqlangan dispersiyasi
Tasodifiy jarayonning avtokorrelyasion funksiyasi tasodifiy jarayoni ikkita kesimini bir-biriga statistik bog‘liklik, o‘xshashlik darajasini ko‘rsatadi:

Tasodifiy jarayonlarning o‘zaro korrelyasion funksiyasi deb ikkita xar xil tasodifiy jarayonlarning ikkita kesimini bir-biriga o‘xshashlik, statistik bog‘liklik darajasini ko‘rsatadi:

Tasodifiy jarayonning bitta realizasiyasi orqali vaqt bo‘yicha aniqlangan sonli xaraktiristikalari ko‘rib chiqamiz.

Tasodifiy jarayonning bitta realizasiyasi orqali vaqt bo‘yicha aniqlangan matematik kutilmasi (o‘rta qiymati):


8.11-rasm. Tasodifiy jarayonning bitta realizasiyasi orqali vaqt bo‘yicha aniqlangan matematik kutilmasi (o‘rta qiymati)
Tasodifiy jarayonning bitta realizasiyasi orkali vaqt bo‘yicha olingan o‘rta qiymatining fizik ma'nosi tokning yoki kuchlanishning o‘zgarmas qismidir.
Tasodifiy jarayonning bitta realizasiyasi orqali vaqt bo‘yicha aniqlangan dispersiyasi:

Tasodifiy jarayonning dispersiyasining fizik ma'nosi tok quvvatini o‘zgaruvchan qismiga teng.
Tasodifiy jarayonning bitta realizasiyasi orqali vaqt bo‘yicha aniqlangan avtokorrelyasion funksiyasi quyidagi ifodalar orqali topiladi:




Tasodifiy jarayonning bitta realizasiyasi orqali vaqt bo‘yicha aniqlangan o‘zaro korrelyasion funksiyasi quyidagi ifodalar orqali topiladi:

Avtokorrelyasion funksiyaning (AKF) xossalari:

1. AKF juft funksiya, ya'ni B_x(τ)=B_x(-τ);
2. AKF ning hech bir qiymati uning τ=0 bo‘lgandagi qiymatidan katta bo‘lmaydi, ya'ni B_x (τ)≤B_x (0);
3. AKF ning τ=0 bo‘lgandagi qiymati tasodifiy jarayonning dispersiyasiga teng B_x (0)=D[x(t)];
4. AKF ning τ 0 intilgandagi qiymati 0 ga intilgandi B_x (∞)=0.
8.12-rasmda misol sifatida to‘g‘rito‘rtburchakli impul'sning avtokorrelyasion funksiyasi keltirilgan.



8.12-rasm. To‘g‘rito‘rtburchakli impul'sning avtokorrelyasion funksiyasi

Tasodifiy jarayonni korrelyasiyalanganlik darajasini korrelyasiya intervali bilan xarakterlash mumkin:

|τ|<τ_k -uchun tasodifiy jarayonning qiymatlari korrelyasiyalangan.

|τ|>τ_k -uchun tasodifiy jarayonning qiymatlari korrelyasiyalanmagan.

3.