Texnologiyalari universiteti kriptografiyaning matematik asoslari

3.8.2. Taqqoslamalar
Butun a va b sonlari modul n bo‘ycha taqqoslanadigan deyiladi, agarda ularni n ga bo‘lganda qoladigan qoldiqlari teng bo‘lsa, a_b(mod n)
deb yoziladi. Bundan esa a va b sonlar ayirmasining n ga qoldiqsiz bo‘linishi kelib chiqadi.
Qoldiqni ifodalash uchun ushbu b=a (mod n)
tenglikdan foydalaniladi hamda b=a (mod n) tenglikni qanoatlantiruvchi b sonini topish a sonini modul n bo‘yicha keltirish deyiladi.
Ixtiyoriy butun b soni uchun ushbu
M={a₀ ,a₁ ,…, a_{n-1 }Z: 0_ a_k  n1; k=0,1,…,n-1}
to‘plamga tegishli a_k b (mod n) munosabatni qanoatlantiruvchi son a_k , k_{0,1,…, n-1} mavjud bo‘lsa, to‘plam M modul n bo‘yicha to‘liq chegirmalar sinfi deyiladi.
Ko‘rinib turibdiki, to‘liq chegirmalar sinfi
M={a₀ ,a₁ ,…, a_{n-1 }Z: 0_ a_k  n1; k=0,1,…,n-1} ={0,1, …,n-1}.
Biror n modul bo‘yicha qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish amallariga nisbatan quyidagi kommutativlik, assosiativlik va distributivlik munosabatlari o‘rinli:
(a+b)(mod n)=((a mod n)+(b mod n))(mod n),
(a-b)(mod n)=((a mod n)-(b mod n))(mod n),
(ab)(mod n)=((a mod n) (b mod n))(mod n), a(b+c)(mod n)=(((ab) mod n)+(ac) mod n))(mod n).
1-teorema. Butun a va b sonlari o‘zaro tub bo‘ladi, qachonki shunday butun u va v sonlari topilsaki, ular uchun au+bv=1 tenglik o‘rinli bo‘lsa.
Bu keltirilgan teoremani quyidagicha ham ifodalash mumkin: butun a va b sonlari o‘zaro tub bo‘lishi uchun, butun bo‘lgan u va v sonlari topilib, ular uchun au+bv=1 tenglikning bajarilishi zarur va yetarli.
Agarda butun a va b sonlari o‘zaro tub bo‘lsa, ya’ni EKUB (a, n)=1 bo‘lsa, u holda ushbu aa^’ _1(mod n) munosabatni qanoatlantiruvchi butun a^’ soni mavjud bo‘lib, bu a^’ son a soniga modul n bo‘yicha teskari deyiladi hamda a^’ _ a^-1(mod n) deb belgilanadi. Teskari a^’ elementni a va n sonlarining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo‘lgan ularning EKUB ifodasidan au+bn=1 foydalangan holda, bu tenglikning har ikkala tomonini modul n bo‘yicha keltirish (hisoblash) bilan a^’ _u (mod n) ekanligi topiladi.
Quyida teskari elementni hisoblashning yana bir usuli keltiriladi.
Berilgan n soni bilan o‘zaro tub bo‘lgan (1; n) oraliqdagi barcha elementlarning soni bilan aniqlanuvchi _n funksiyaga Eyler funksiyasi deyiladi:
 n M , bu yerda M M – to‘plamning quvvati,
M  m_i N :1 m_i  n; m_i ,n1.
Agarda n _ p₁^k1 __ p_t^kt bo‘lib, p₁,, p_t - har xil tub sonlar bo‘lsa, u holda
t
Eyler funksiyasining qiymati _n_ p _j 1 p^k_j ^{j 1} ifoda bilan hisoblanadi.
j1
Fermaning kichik teoremasi deb ataluvchi ushbu tasdiq o‘rinli, agar n – tub son bo‘lsa, a^n-1 _1(mod n) o‘rinli.
Eyler tomonidan olingan, Ferma kichik teoremasining umumlashgani deb ataluvchi ushbu tasdiq o‘rinli, agar n – tub son bo‘lsa, a^n _1(mod n) munosabat bajariladi.
Yuqoridagilardan kelib chiqqan holda, a^-1 _a^{n1}(mod n)
munosabatning o‘rinligiga ishonch hosil qilinadi.
Agar n–tub son bo‘lsa, u holda _n_ n_1. Agar n=pq bo‘lib, p va
q–tub sonlar bo‘lsa, u holda np1q1. Bu kabi xossalardan ochiq kalitli kriptoalgoritmlar yaratishda foydalaniladi. Masalan, qanday son modul 7 bo‘yicha 5 soniga teskari ekanligini topaylik. Bu yerda, 7 soni tub bo‘lgani uchun, uning
Eyler funksiyasi _7_ 7 _1 =6, modul 7 bo‘yicha 5 soniga teskari son esa a^-1
a^{n1}(mod n) formulaga ko‘ra
5^1 5^61mod75⁵mod73125mod7.
Haqiqatan ham, 53mod7 15mod7 1mod7 1. Biror modul bo‘yicha berilgan songa teskari bo‘lgan son har doim ham mavjud bo‘lavermaydi. Misol uchun, 5 soniga modul 14 bo‘yicha teskari son 3:
53mod14 15mod14 1mod14 1. Ammo, 2 sonining modul 14 bo‘yicha teskarisi mavjud emas, ya’ni 2x_1 (mod 14) yoki 2x=14k +1 tenglama x va k noma’lumlarning butun qiymatlarida yechimga ega emas, chunki x va k noma’lumlarning butun qiymatlarida har doim tenglikning chap tomonida juft son, o‘ng tomonida esa toq son hosil bo‘ladi.
Umumiy holda, agar a va n sonlari o‘zaro tub bo‘lsa, tenglama a^-1 _x mod n yagona yechimga ega bo‘ladi; agar a va n sonlari o‘zaro tub bo‘lmasa, tenglama a^-1 _x (mod n) yechimga ega emas. Bevosita hisoblashlar asosida, ushbu (ax) mod n = b tenglama a, n, b – sonlarining qanday qiymatlar qabul qilishiga qarab yoki bir nechta yechimlarga ega bo‘lishi mumkinligiga yoki bitta ham yechimga ega bo‘lmasligiga ishonch hosil qilish mumkin.
Quyidagilarni ta’kidlash joiz: agar a soni M sonini bo‘lsa va b soni ham M sonini bo‘lsa, u holda bu M _N soni a,bZ sonlarning umumiy bo‘linuvchisi
(karralisi) deyiladi. Umumiy bo‘linuvchilar ichida eng kichigi eng kichik umumiy bo‘linuvchi deyiladi hamda [a, b] deb belgilanadi.
2-teorema. Agar M _N son a,bZ sonlarning umumiy bo‘linuvchisi bo‘lsa, u holda M soni bu sonlarning eng kichik bo‘linuvchisi [a, b] ga ham bo‘linadi.
3-teorema. Ushbu [a, b] = ab/ EKUB (a, b) munosabat o‘rinli.