Теория вероятностей

Свойства плотности вероятностей
f1). Плотность вероятностей является функцией неотрицательной:
для любого .
▲ Поскольку функция распределения является функцией неубывающей, то ее производная . Поэтому свойство следует из равенства (2.5) ■.
f2). Площадь под графиком плотности вероятностей равна единице:
- условие нормировки.
▲ Из представления (2.3) следует, что , а в соответствии со свойством F2) функции распределения ■.
f3). Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал определяется как интеграл от плотности вероятностей по этому интервалу: для любых
. (2.6)
▲ Поскольку в соответствии со свойством F6) функции распределения , то данное свойство непосредственно вытекает из представления (2.3):
■.
Следствие. Для непрерывной случайной величины

и все вероятности определяются с помощью интеграла (2.6).
Графическая иллюстрация функции распределения и плотности вероятностей непрерывной случайной величины.





2.5. Важнейшие непрерывные случайные величины
1. Равномерная случайная величина.
Говорят, что непрерывная случайная величина имеет равномерный закон распределения (равномерное распределение) на отрезке , если множество ее возможных значений , а плотность вероятностей постоянна на этом отрезке:

Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки:
, то есть .
Таким образом, равномерно распределенная случайная величина имеет плотность вероятностей:

и для нее используется сокращенное обозначение: .
Найдем функцию распределения случайной величины .
Для этого рассмотрим три случая:
а) если , то