Теория вероятностей

2.4. Непрерывные случайные величины.
Плотность вероятностей


Определение. Случайная величина , заданная на вероятностном пространстве , называется непрерывной или имеющей непрерывный закон распределения, если существует такая функция , что для любого функция распределения случайной величины допускает представление:
. (2.3)
При этом функция называется плотностью вероятностей (плотностью распределения вероятностей, плотностью распределения) случайной величины .
Замечание. Для существования интеграла (2.3) предполагается, что плотность вероятностей является функцией непрерывна всюду, за исключением, может быть, конечного числа точек.
Из определения следует:
1. Если случайная величина является непрерывной, то ее функция распределения непрерывна на всей числовой прямой.
(Это следует из свойств интеграла с переменным верхним пределом).
Следствие. Если случайная величина является непрерывной, то
для любого . (2.4)
2. Если случайная величина является непрерывной, то ее функция распределения является дифференцируемой во всех точках, где плотность вероятностей непрерывна, и при этом справедливо равенство:
. (2.5)
(Этот факт также следует из свойств интеграла с переменным верхним пределом).
В точках, где плотность вероятностей непрерывной не является, производная функции распределения не существует. Это означает, что в этих точках функция распределения , являясь функцией непрерывной, имеет излом, так что . Но таких точек в соответствии с замечанием не более конечного числа и в них плотность вероятностей может быть задана произвольно (на величине интеграла (2.3) и на вероятностях событий, связанных со случайной величиной, в соответствии с (2.4) это никак не отражается).
Замечание. Говорят также, что равенство (2.5) выполняется «почти всюду» или «для почти всех », понимая под этим справедливость равенства «везде» или «для всех », кроме (возможно) из некоторого множества нулевой меры (длины). Используя данную терминологию, можно сказать, что функция распределения непрерывной случайной величины является дифференцируемой почти всюду.
Геометрическая иллюстрация.

Из равенства (2.5) и определения производной следует, что
.
Интерпретируя вероятность как массу, приходящуюся на интервал , отношение представляет собой среднюю плотность массы на этом интервале, а в пределе при получаем плотность массы в точке х. Это обстоятельство и оправдывает использование термина «плотность» для функции .
Формулы (2.3) и (2.5) показывают, что между функцией распределения непрерывной случайной величины и плотностью вероятностей существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому по аналогии с дискретным случаем плотность вероятностей можно называть законом распределения непрерывной случайной величины или непрерывным законом распределения.