Teorema Birgalikda boʻlmagan hodisalar ehtimollarini qoʻshish teoremasi

2-MAVZU
SHARTLI EHTIMOL. HODISALARNING BOGʻLIQSIZLIGI. EHTIMOLLARNI QOʻSHISH VA KOʻPAYTIRISH TEOREMALARI. TOʻLA EHTIMOL VA BAYES FORMULALARI.
Taʼrif 1. Birgalikda boʻlmagan hodisalar deb, bitta sinashda birining roʻy berishi qolganlarining roʻy berishini yoʻqqa chiqaradigan hodisalarga aytiladi.
Teorema 1. (Birgalikda boʻlmagan hodisalar ehtimollarini qoʻshish teoremasi) Birgalikda boʻlmagan ikkita hodisadan qaysinisi boʻlsa ham, birining roʻy berish ehtimoli shu hodisalar ehtimollarining yigʻindisiga teng:
P(A B)=P(A)+P(B)
Natija. Har ikkitasi birgalikda boʻlmagan bir nechta hodisalardan qaysinisi boʻlsa ham, birining roʻy berish ehtimoli shu hodisalar ehtimollari yigʻindisiga teng:

Taʼrif 2. Toʻla guruh deb, sinashning yagona mumkin boʻlgan hodisalari toʻplamiga aytiladi.
Teorema 2. Toʻla guruhni tashkil etuvchi hodisalarning ehtimollari yigʻindisi birga teng:

Teorema 3. Qarama-qarshi hodisalarning ehtimollari yigʻindisi birga teng:

Taʼrif 3. Agar ikkita hodisadan birining roʻy berishi ikkinchisining roʻy berishi yoki roʻy bermasligiga bogʻliq boʻlmasa, bu hodisalar erkli hodisalar deyiladi.
Teorema 4. Ikkita erkli hodisaning birgalikda roʻy berish ehtimoli shu hodisalarning ehtimollari koʻpaytmasiga teng:

Natija. Birgalikda bogʻliq boʻlmagan n ta erkli hodisalar koʻpaytmasining ehtimoli, ushbu hodisalar ehtimollari koʻpaytmasiga teng:

Taʼrif 4. A hodisa roʻy berganlik sharti ostida, B hodisaning shartli ehtimolligi deb

songa aytiladi.
Teorema 5. Ikkita bogʻliq hodisaning birgalikda roʻy berish ehtimoli, ulardan birining ehtimolini shu hodisa roʻy berdi degan farazda hisoblangan ikkinchi hodisaning shartli ehtimoli koʻpaytmasiga teng:
yoki
Natija. Bir nechta bogʻliq hodisalarning birgalikda roʻy berish ehtimoli, ulardan birining ehtimolini qolganlarining shartli ehtimollariga koʻpaytmasiga teng, bunda har bir keyingi hodisaning ehtimoli undan oldingi hamma hodisalar roʻy berdi degan farazda hisoblanadi:

Bunda - hodisaning hodisalar roʻy berdi degan farazda hisoblangan ehtimoli.
Teorema 6. hodisalardan kamida bittasining roʻy berish ehtimoli bir bilan ,…, teskari hodisalar koʻpaytmasi ehtimolining orasidagi ayirmaga teng:
=
Natija 1. Birgalikda bogʻliq boʻlmagan hodisalardan kamida bittasining roʻy berish ehtimoli bir bilan ,…, teskari hodisalar ehtimollarining koʻpaytmasi orasidagi ayirmaga teng:
=1-
Natija 2. Agar hodisalarning roʻy berish ehtimollari bir xil boʻlsa, yaʼni boʻlsa, u holda ularning hech boʻlmaganda bittasining roʻy berish ehtimoli

teng boʻladi.
Teorema 7. Toʻla guruhni tashkil etuvchi birgalikda boʻlmagan hodisalardan bittasining roʻy berganlik shartidagina roʻy beradigan A hodisaning ehtimoli shu hodisalardan har birining ehtimolini A hodisaning mos shartli ehtimoliga koʻpaytmalari yigʻindisiga teng:

Bu formulaga “Toʻla ehtimollik formulasi”, -hodisalarga taxminlar deyiladi.
Teorema 8. A hodisa toʻla guruhni tashkil etuvchi, birgalikda boʻlmagan hodisalarning biri roʻy berishi shartidagina roʻy berishi mumkin boʻlsin. Agar A hodisa roʻy bergan boʻlsa, u holda B_i taxminning shartli ehtimolligi:
, i=1,2,…,n
Taxminlar formulasi yoki Bayes formulasi orqali topiladi. Ushbu formula taxminlar ehtimollarini qayta baholash imkonini beradi.