Текущая версия страницы пока

Критерии интегрируемости

Критерий Коши. Функция интегрируема по Риману на отрезке , если




[12]


Данный критерий есть ни что иное, как запись критерия Коши сходимости по базе для случая интеграла Римана.
Критерий Дарбу. Функция интегрируема по Риману на отрезке , тогда и только
тогда, когда верхний интеграл Дарбу совпадает с нижним и конечен.^[13]
На этом критерии основывается альтернативное определение интеграла Римана.
Критерий Римана. Определим колебание функции на множестве как
_.[14]
Тогда -суммой функции на разбиении называется
_.[15][16]
Функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она ограничена и предел - сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю равен .^[17]
Инфинум-критерий Римана. Есть также вариация критерия Римана с
использованием понятия точной грани, а не предела: функция интегрируема тогда и только тогда, когда .^[18][19]
Специальный критерий Римана. На самом деле в критерии Римана можно потребовать более слабые условия.
Обозначим за разбиение отрезка на равных сегментов. Функция интегрируема
на этом отрезке тогда и только тогда, когда последовательность стремится к нулю.^[20]
Специальный инфинум-критерий Римана. Функция интегрируема на отрезке тогда и только тогда, когда .^[21]
Критерий Дюбуа-Реймона. Определим колебание функции в точке как точную нижнюю грань значения колебаний функции в окрестности этой точки (если область определения функции не включает полную окрестность точки, то тогда рассматриваются только те точки окрестности, которые входят в область определения).
[14]

По сути колебание функции в точке представляет собой отличие функции от ^{непрерывной. В точке непрерывности оно равно , в точке разрыва оно больше .}

Функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она ограничена и для любых множество всех точек в котором имеет нулевую ^{меру Жордана (то есть для любого может быть покрыто конечным} множеством интервалов с суммарной длиной меньше ).^[22]
Критерий Лебега. Функция интегрируема по Риману на отрезке , тогда и
только тогда, когда на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она ^{разрывна, имеет нулевую меру Лебега (то есть для любого может быть} покрыто счётным семейством интервалов с суммарной длиной меньше ).^[23]