Текущая версия страницы пока

Классическое определение

Пусть на отрезке
^.
определена вещественнозначная функция . Будем считать

Для определения интеграла прежде всего необходимо сначала определить понятие разбиения отрезка и остальные связанные с ним определения.

Разбиением (неразмеченным) отрезка назовём конечное множество точек
отрезка , в которое входят точки и . Как видно из определения, в разбиение
всегда входят хотя бы две точки. Точки разбиения можно расположить по
возрастанию: . Множество всех
разбиений отрезка будем обозначать .

Точки разбиения, между которыми нет других точек разбиения, называются соседними. Отрезок, концами которого являются соседние точки разбиения, называется частичным отрезком разбиения. Такие отрезки обозначим
. Длину частичного отрезка разбиения обозначаим за . Длина наибольшего из отрезков называется диаметром разбиения. Для разбиения его диаметр обозначим как .
Разметкой разбиения называется конечное упорядоченное множество такое, что . Множество всех разметок разбиения будем обозначать как .
Размеченным разбиением называется упорядоченная пара , где — неразмеченное разбиение, — некоторая разметка . Множество всех размеченных разбиений отрезка будем обозначать как .

После всех этих определений можно приступить к непосредственному определению интеграла Римана.

Пусть задано некоторое размеченное разбиение . Интегральной суммой Римана функции на размеченном разбиении называется
. Интегралом Римана будет предел этих сумм при
диаметре разбиения, стремящемуся к нулю. Однако здесь есть одна тонкость: это предел от функции с отмеченными разбиениями в качестве аргументов, а не числами, и обычное понятие предела при стремлении к точке здесь неприменимо. Необходимо дать формальное описание того, что же мы имеем в виду под фразой
«предел при диаметре разбиения, стремящемуся к нулю»


Пусть — функция, ставящая в соответствие размеченному
разбиению некоторое число. Число называется пределом функции при диаметре разбиений, стремящемуся к нулю, если





Обозначение:
Такой предел является частным случаем предела по базе. Действительно, обозначим множество всех размеченных разбиений с диаметром меньше как . Тогда
множество является базой на множестве , а предел,
определённый выше, есть не что иное, как предел по этой базе. Таким образом, для таких пределов выполняются все свойства, присущие пределам по базе.
Наконец, мы можем дать определение интеграла Римана. Интегралом Римана ^{функции в пределах от до называется предел интегральных сумм Римана} функции на размеченных разбиениях отрезка при диаметре разбиения,
стремящемуся к нулю. С использованием обозначения интеграла это записывается так:

Интеграл Римана также определяется для случая . Для он определяется как

^{Для как}


[4]