Текисликда аналитик геометрия элементлари

Кутб координаталар системаси.


1. Y Икки ук орасидаги бурчак.
Р текисликда ётувчи ихтиёрий иккита О нуктада кесишувчи l₁ ва l₂ укни олиб карайлик.
l₁ ва l₂ уклар орасидаги бурчак деб, Р текисликда l₁ укни l₂ ук билан устма-уст тушгунга кадар О нукта атрофида буришдан хосил булган бурчакка айтилади.


l₂

О l₁

Бу ерда l₁ ни соат стрелкасига карама-карши йуналишда буриш мусбат йуналиш, соат стрелкаси буйича бурилса, - манфий йуналиш деб кабул килинган. У холда
( l₁ ^ l₂) = (l₂^l₁)
(l₁ ^ l₂) =  деб белгилаймиз, бунда О    2
Декарт координаталардан сунг, куп ишлатиладиган системалардан бири — поляр координаталар системасидир.
Текисликда l горизонтал укни олиб, уни поляр уки деб атайлик. Унинг бошки нуктаси О ни — полюс деб аталади.
Полюс билан устма-уст тушмайдиган ихтиёрий М нуктани олайлик. М нуктани О полюс билан туташтирайлик ва l₁ ук деб белгилайлик.
(l₀ ^ l₁) =  деб белгилайлик ва уни М(^.) нинг поляр бурчаги деб атаймиз: !ОМ! = r -М нуктанинг поляр радиуси дейилади.
l₁
r M

О l
М(; r) — нуктанинг поляр координаталари.


2. Поляр координаталар системаси ва декарт координаталар системаси орасидаги богликлик.

Баъзи масалаларни ечишда поляр ва декарт координаталар системасида ишлашга тугри келади. Шунинг учун поляр ва декарт координаталар системалари орасидаги богликликни топайлик.

Айтайлик поляр ук l билан абциссалар уки, полюс билан координаталар боши устма-уст тушсин. У холда текисликда олинган ихтиёрий М нукта поляр координаталар системасида М(; r) координатага ва Декарт координаталар системасида М(х; у) координаталарга эга булсин.

у М
r



О х х

Чизмадан куриниб турибдики, тригонометрик таърифга асосан

x y
cos = ---; sin = ---

r r

бундан x = r cos 

 (4)
y = r sin 
(4) декарт координаталарни поляр координаталари оркали ифодасидир.
(4) формулани хар иккала томонини квадратга кутарайлик:

x² = r² cos² 

 (4)
y² = r² sin² 

x²+ y²= r² cos²  r²+ sin² = r² (cos² + sin² )= r²
д емак, r = x²+ y²
Энди у = y = r sin  ва x = r cos  ларни нисбатини топайлик
у r sin  y
--- = -------- = tg; =>  = arctg --- ;
х r cos  x

Демак, r =  x²+ y²

y  (5)
 = arctg ---
x бу ерда О    2 (5) поляр координаталари оркали ифодасидир.
Мисол: М(3; 1) нуктасининг поляр координаталарини топинг.
y 1
r =  x²+ y² = 3+1 = 2; tg = --- = -----
x 3
 y
Демак,  = --- ёки  = ---
6 6
Агар х=3; ва у=1 эканлигини хисобга олсак, х ва у биринчи чоракда мусбат, демак, 
 = ---
6 у холда

М(---; 2) <=> М(3; 1)
6