Tekis kuch maydonining bajargan ishi

2. Ikkinchi tur (koordinatalar bo‘yicha) egri chiziqli integral tushunchasi. To‘g‘rilanuvchi AB yoy va unda aniqlangan  funksiya berilgan bo‘lsin. AB yoyni  nuqtalar yordamida ixtiyoriy ravishda n ta bo‘lakka ajratamiz (4-rasm).
4-rasm
Bo‘lishni A nuqtadan B nuqtaga qarab olib boramiz va  deb olamiz.  nuqtaning koordinatalarini  orqali belgilab, har bir yoydan ixtiyoriy ravishda bittadan  nuqtalar tanlab olib, quyidagi yig‘indini tuzamiz:
. (4)
Bu yig‘indi  funksiya uchun AB yoyda x koordinatasi bo‘yicha tuzilgan integral yig‘indi deyiladi. Bu yig‘indining qiymati AB yoyni bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan  nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq.  bo‘lakchalarning uzunliklarini eng kattasini  deb olib, uni nolga intiltiramiz, ravshanki unda bo‘lakchalar soni n cheksiz kattalashadi.
Ta’rif. Agar  da (4) integral yig‘indi chekli limitga ega bo‘lib, u AB yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan  nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda bu limit  funksiyaning AB yoy bo‘ylab, x koordinata bo‘yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali deyiladi.
Bu holda  funksiya AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi deyiladi.
Egri chiziqli integral  kabi belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha
.
Xuddi shu kabi  funksiyadan y koordinata bo‘yicha olingan ikkinchi tur egri chiziqli integral quyidagicha ta’riflanadi:

Agar AB yoyda aniqlangan  va  funksiyalar berilgan bo‘lib,  va  intetgrallar mavjud bo‘lsa, u holda  yig‘indi to‘la ikkinchi tur egri chiziqli integral (umumiy ko‘rinishdagi ikkinchi tur egri chiziqli integral) deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
(5)
Agar A va B nuqtalar ustma-ust tushsa, yopiq kontur hosil bo‘ladi. Yopiq kontur bo‘yicha olingan egri chiziqli integral  ko‘rinishda belgilanadi.
Birinchi bandda ko‘rilgan tekis kuch maydonining bajargan ishi A quyidagi formula bo‘yicha topiladi:
(6)
3-§. Ikkinchi tur egri chiziqli integralning asosiy xossalari
1º. Agar  funksiya AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda  funksiya ham AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lib  tenglik o‘rinli.
2º. Agar  va  funksiyalar AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda  funksiyalar ham shu yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lib,  tenglik o‘rinli.
3º. (additivlik xossasi). Agar AB yoy biror C nuqta orqali AC va CB yoylarga ajratilgan bo‘lib,  funksiya AC va CB yoylarning har biri bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda  funksiya AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lib,  tenglik o‘rinli.
Bu xossalarning isboti ta’rifdan osongina kelib chiqadi.
4º. Agar  egri chiziqli integral mavjud bo‘lsa, u holda  egri chiziqli integral ham mavjud bo‘lib  tenglik o‘rinli.
Haqiqatdan, B nuqtani AB yoyning boshlang‘ich nuqtasi A ni esa oxirgi nuqtasi deb hisoblasak, u holda  bo‘linish nuqta  nuqtadan oldin keladi va integral yig‘indidagi  son  songa almashib,  integral yig‘indi  yig‘indiga almashadi.
Bundan  tenglikni hosil qilib, limitga o‘tsak
ya’ni,  tenglikni hosil qilamiz.
5º. Agar  funksiya yopiq L-kontur bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda  egri chiziqli integralning qiymati L konturdagi qaysi nuqtani boshlang‘ich nuqta (bu nuqta oxirgi nuqta ham bo‘ladi) deb olinishiga bog‘liq emas.
Isbot. A va  lar teng bo‘lmagan ixtiyoriy nuqtalar bo‘lsin (5-rasm).
5-rasm
A nuqtani boshlang‘ich (va albatta oxirgi) nuqta deb, egri chiziqli integralni ko‘rsatilgan yo‘nalish bo‘yicha hisoblasak 
(1)
tenglikka ega bo‘lamiz.
Agar  nuqtani boshlang‘ich nuqta deb olsak, u holda
(2)
tenglikka ega bo‘lamiz.
(1) va (2) larning o‘ng tomonlari bir hil qo‘shiluvchilardan iborat. Shuning uchun chap tomonlari ham teng bo‘ladi. Demak, xossa isbotlandi.
L-o‘z-o‘zini kesmaydigan yopiq kontur bo‘lganda musbat va manfiy yo‘nalishlar hisobga olinadi.
Agar yopiq kontur bo‘ylab harakatlanma kontur bilan chegaralangan sohaning shu nuqtaga yaqin bo‘lgan qismi kuzatuvchidan chap tomonda qolsa, bunday yo‘nalish musbat yo‘nalish (28-rasm, a), agar o‘ng tomonda qolsa, bunday yo‘nalish manfiy yo‘nalish deb qabul qilinadi (6-rasm, b).
6-rasm
1. Sodda AB egri chiziqda  va  funksiyalar va bu egri chiziqni   bo`laklarga ajratish usuli   berilgan bo`lsin. Har bir  bo`laklarda ixtiyoriy  nuqta tanlab olib,


integral yig`indilarni tuzamiz, bu yerda  va  lar bilan mos ravishda  yoyning x va u o`qlaridagi proeksiyalari belgilangan.
Agar  da S_T (P) va S_T(Q) yig`indilarning limitlari mavjud bo`lsa, u holda bu limitlar P(x,y) va Q(x,y) funksiyalardan olingan ikkinchi tur egri chiziqli integrallar deyiladi va mos ravishda  belgilanadi.
yig`indini Ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning umumiy ko`rinishi deb atash va  kabi yozish qabul qilingan.
2. Oddiy aniq integralga keltirish.
Agar AB egri chiziq

parametrik tenglamalar bilan berilsa, u holda ikkinchi tur egri chiziqli integral
(1)
formula bo`yicha hisoblanadi.
Agar egri chiziq   tenglama bilan berilsa, (1) formula
(2)
ko`rinishni oladi.
Agar  - kuch maydoni bo`lsa, bu kuchning moddiy nuqtani egri chiziq bo`ylab siljitishda bajargan ishi W ikkinchi tur egri chiziqli integral bilan ifodalanadi:
.
3. Agar P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar uchun
(1)
shart bajarilsa, u holda ifoda biror u(x,y) funksiyaning to`la differensiali bo`ladi va integral integrallash yo`liga bog`liq bo`lmaydi, faqat A va V nuqtalarning berilishi bilan bir qiymatli aniqlanadi.
To`la differensiali bo`yicha funksiyaning o`zi

yoki

formula orqali topiladi.
4. Ikki karrali va egri chiziqli integrallarni bog`lovchi

formula Grin formulasi deyilib, bu formuladan foydalanib, D sohaning yuzini quyidagicha ifodalash mumkin:
,
bu yerda G – D sohaning chegarasi.
4-§. Ikkinchi tur egri chiziqli integralni mavjudlik sharti va uni hisoblash