Tayyorlash va ularning malakasini oshirish hududiy

(x+a)(x+b)...(x+k)= x
m
+S
1
x
m-1
+S
2
x
m-2
+...+S
m
 
tenglikda  binomning  barcha  ikkinchi  hadlari  bir  xil,  yaoni  a=b=c=...=k  deb  faraz 
qilamiz.  U  holda  chap  tomon  binomning  (x+a)
m
  darajasi  bo`ladi.  S
1
,  S
2
,  ...,  S
m
 
koeffitsientlarning nimaga aylanishlarini qaraymiz. 
 
a+b+c+...+k ga teng bo`lgan S
1
 koeffitsient ma ga aylanadi. ab+ac+ad+... ga 
teng  bo`lgan  S
2
  koeffitsient,  m  ta  elementdan  2  tadan  qancha  gruppa  tuzish 
mumkin  bo`lsa,  shuncha  marta  takrorlangan  a
2
  soniga,  yaoni 
m m
a
(
)


1
1 2
2
  ga 
aylanadi,  abc+abd+...  ga  teng  bo`lgan  S
3
  koeffitsient  m  ta  elementda  3  tadan 
qancha gruppa tuzish mumkin bo`lsa, shuncha marta takrorlangan a
3
 soniga, yaoni 
m m
m
a
(
)(
)


 
1
2
1 2 3
3
  ga  aylanadi  va  shunga  o`xshash.  Nihoyat,  abc...k  ga  teng 
bo`lgan  S
m
  koeffitsient  a
m
  ga  aylanadi.  SHunday  qilib,  quyidagi  tenglikni  hosil 
qilamiz: 
(
)
(
)
(
)(
)
.. .
(
).. .[
(
)]
. ..
. ..
x
a
x
m ax
m m
a x
m m
m
a x
m m
m
n
n
a x
a
m
m
m
m
m
n
m n
m









 

 



 
 




1
2
2
3
3
1
1 2
1
2
1 2 3
1
1
1 2 3
 
 
Bu tenglik Npyuton binomining formulasi nomi bilan maolum. Formulaning 
o`ng  tomonida  turuvchi  ko`phad  binom  yoyilmasi  deb  ataladi.  Bu  ko`phadning 
xususiyatlarini ko`rib chiqamiz. 
 
3.  Nyuton  binomi  formulasining  xossalari.  Bu  xossalardan  10  tasini 
ko`rsatamiz: 
 
1) x ning ko`rsatkichlari birinchi haddan oxirgi hadga qarab 1 tadan kamayib 
boradi, birinchi hadda x ning ko`rsatkichi binom darajasining ko`rsatkichiga teng, 

---

164 
 
oxirgi hadda esa 0 dir; aksincha a ning ko`rsatkichlari birinchi haddan oxirgi hadga 
qarab,  1  tadan  ortib  boradi,  birinchi  hadda  a  ning  ko`rsatkichi  0,  oxirgi  hadda 
binom darajasining ko`rsatkichiga teng. Buning natijasida har qaysi hadda  x bilan 
a  dagi  ko`rsatkichlar  yig`indisi  hamma  vaqt  bir  xil  bo`lib,  binom  darajasining 
ko`rsatkichiga tengdir. 
 
2) Yoyilmaning hamma hadlari soni m+1, chunki yoyilmada a ning 0 dan m 
gacha barcha darajalari bor. 
 
3) Koeffitsientlar quyidagilarga teng: birinchi hadda — birga, ikkinchi hadda 
—  binom  darajasining  ko`rsatkichiga,  uchinchi  hadda  m  ta  elementdan  2  tadan 
gruppalash  soniga;  to`rtinchi  hadda  m  ta  elementni  3  tadan  gruppalash  soniga, 
umuman (n+1)-had koeffitsienti m ta elementdan n tadan gruppalash soniga teng. 
Nihoyat, oxirgi had koeffitsienti m ta elementni m tadan gruppalash soniga, yaoni 
1 ga teng. 
 
Bu koeffitsientlarning hammasi binomial koeffitsi-entlar deb ataladi. 
 
4)  Yoyilmaning  har  bir  hadini,  tagiga  shu  hadning  yoyilmadagi  o`rnining 
nomerining  ko`rsatuvchi  raqamlar  qo`yilgan  T  harfi  bilan  belgilab, yaoni birinchi 
hadi T