Tasodifiy hodisalar. Elementar hodisalar fazosi. Hodisalar va ular ustida amallar

Teorema. Har birida hodisaning roʻy berish ehtimoli p (0

teng boʻladi. Ushbu formulaga Bernulli formulasi deyiladi. Bernulli formulasiga olib keladigan shartlarga esa, takrorlanuvchi bogʻliq boʻlmagan tajribalar ketma-ketligi xususiy sxemasi yoki Bernulli sxemasi deyiladi. ehtimolliklar k ning turli qiymatlarida Nyuton binomi yoyilmasidagi qoʻshiluvchilarni bergani uchun:

ehtimolliklar taqsimoti ( ) binomial taqsimot deyiladi.

2. 
   Agar har birida roʻy berish ehtimoli p ga teng boʻlgan bogʻliq boʻlmagan tajribalar ketma-ketligi A hodisa k marta roʻy bergancha oʻtqazilayotgan boʻlsa, u holda m ta omadsiz tajriba oʻtqazilgan bʻlish ehtimoli:
   

, m=0,1,2,…
formula bilan aniqlanadi. Mos ehtimollar taqsimoti esa manfiy binomial taqsimot deyiladi. (mumkin boʻlgan holatlar toʻplami cheksiz)

2. 
   Oʻzgaruvchan shartlardagi tajribalarda.
   

Agar har bir bogʻliqsiz tajribalar ketma-ketligida A hodisaning roʻy berish ehtimoli turli xil boʻlsa, (takrorlanuvchi bogʻliq boʻlmagan tajribalar ketma-ketligi umumiy sxemasi) u holda A hodisaning n ta tajribada k marta roʻy berish ehtimolli quyidagicha polinomning k-darajasi oldidagi koeffitsiyent sifatida aiqlanadi:

Bu yerda -ga ishlab chiqaruvchi funksiya deyiladi.

3. 
   Bir nechta hodisalar bilan tajriba.
   

Agar tajriba natijasida birgalikda boʻlmagan va toʻla guruhni tashkil etuvchi A₁, A₂,…, A_L hodisalarning bittasi roʻy berishi mumkin boʻlib, bunda P(A₁)=p₁,…, P(A_L)=p_L va boʻlsa, u holda A₁ hodisani k₁ marta, A₂ hodisani k₂ marta, …, A_L hodisani k_L marta roʻy berish ehtimoli:

formula bilan aniqlanadi. Mos ehtimollar taqsimotiga polynomial taqsimot deyiladi.
Misol: Biror bir moʻljalga qaratib uchta oʻzaro bogʻliq boʻlmagan oʻq otildi. Har bir otishda oʻqni nishonga tegish ehtimollari turli xil boʻlsin p₁=0.7, p₂=0.8, p₃=0.9. Nishonga tegmaslik, 1, 2, 3 ta oʻqni nishonga tegish ehtimollari topilsin.

U holda nishonga tegmaslik ehtimoli
Bitta oʻqni nishonga tegish ehtimoli
Ikkita oʻqni nishonga tegish ehtimoli
Uchta oʻqni nishonga tegish ehtimoli
Har birida A hodisaning roʻy berish ehtimoli p ga teng boʻlgan n ta erkli sinash oʻtqazilayotgan boʻlsin. Agar tajribalar soni n yetarlicha katta va p yoki p boʻlsa, u holda Bernulli formulasi ish bermaydi.
Masalan: n=100, p=0.01, q=1-p=0.99, k=30 boʻlganda
-? Murakkab hisoblashlarga olib keladi. Bunday hollarda asimptotik (taqribiy) formulalarga oʻtiladi. n*p= koʻpaytma oʻzgarmas boʻlsin, degan shart ostida Bernulli formulasida quyidagicha shakl almashtirish bajaramiz:

n*p= boʻlgani uchun boʻladi. Demak,

n juda katta qiymatga ega ekanligini nazarda tutib, ni oʻrniga ni topamiz. Bunda izlanayotgan ehtimolning taqribiy qiymati topiladi xolos.



Shunday qilib, quyidagicha teoremaga keldik.