Ta’rif. Tartib bilan yozilgan n ta x=(x1, x2, …, xn) haqiqiy sonlar sistemasiga n

Misol. 3 o’lchamli fazoda (R³ da) operatorning bazisida
matritsa yordamida berilgan chiziqli operatorning vektorlarning obrazi topilsin.
Yechish.
Demak,
Ikkita chiziqli operatorning yig’indisi, ko’paytmasi, operatorning songa ko’paytmasi quyidagi tengliklar bilan aniqlanadi.

Ushbu kiritilgan amallarga ko’ra 2 chiziqli operator yig’indi ko’paytmasi va songa ko’paytmasi ham chiziqli bo’lishini ko’rish qiyin emas. Har qanday uchun bo’lsa, ga 0 operator, bo’lsa ga birlik operator deyiladi.
Teorema: Berilgan chiziqli operatorning eski (matrisasi) bazisdagi A matritsasi va yangi hozirgi A^* matritsaning orasida quyidagicha bog’lanish mavjud.
A*=C^-1AC (1)
bu erda C- eski bazisdan yangi bazisga o’tish matritsasi.

Haqiqatan ham, chiziqli operator eski bazisda Rⁿ fazodagi x vektorni y vektorga o’tkazgani uchun yangi bazisda A* operator X* vektorni Y* vektorga o’tkazadi, ya’ni
Y*=A*X* (2)
(2) ni yoza olamiz.
Eski bazisdan yangi bazisga o’tish matritsasi bo’lganligi uchun
X=CX* (3) Y=CY* (4)
bo'ladi. (2) ni chap tomondan A matritsaga ko’paytirsak Ax=ACX* yo’ki y=ACX* bo’ladi. Ikkinchi tomondan (4) ni e’tiborga olsak CY*=ACX* yoki Y*=C^-1ACX* buni (2) bilan taqqoslab (1) ni olamiz.


Misol. Agar chiziqli operatorning bazisdagi matritsasi bo’lsa, ushbu operatorning bazisdagi matritsasi topilsin?

o’tish matritsasi bo’lib C^-1 ni topamiz.