Тақырып: теріс болмаған бүтін сандар жиынын аксиоматик қҰРУ

1.3. Натурал сандарды қосу ва оның қасиеттері
Қосу амалының анықтамасы Герман Гроссман (1809-1877) жағынан берілген қосу амалының индуктивтік анықтамасына негізделеді .бұл анықтама екі бөлімнен құралған болып , ол төмендегідей :

1. 
   Кез келген а натурал санға 1 ни қосса, тiкелей а дан кейін келетін сан пайда болады, яғни ( n ) (а + 1=a¹).
   

2. a + b¹ амалы , а санға тiкелей b саннан кейін келетін b¹ санды қосу нәтижесінде а + b саннан тiкелей кейін келетін натурал (а +b)¹ санды береді , яғни ( ) [(а + b)¹ = (а + b) + 1].
Пеаноның екінші аксиомасынан мәлім, n - натурал сан болса , n+1 де әрине натурал сан болады . Мұнда а және а+b лар натурал сан болғанда а + b¹ = (а + b)¹ да натурал сан болуы келіп шығады . Сонымен бірге , а + 1 = а¹ дан Пеаноның бірінші аксиомасына негізделіп а натурал сан мен b натурал санның қосындыси тола анықталған және натурал саннан иборат болады .
Демек , қосу амалы натурал сандар жиынында барлық уақыт орындалатын бір мәнді амал екен .
Натурал сан анықтамасынан көруіміз мүмкін , әр қандай натурал сан өзінен алдыңғы натурал сан мен бірдің қосындысына тең болар екен , яғни
2=1 + 1; 3 = 2+1; 4= 3+1; 5 = 4+1;
6 = 5 + 1; 7= 6+1; 8= 7+1; 9 = 8+1 болады . Нәтижеде біз 1 ді қосу кестесін пайда еттік.
Енді 2 ні қосу кестесін түзейік:
2 + 2 = 2 + (1+1) = (2+1) + 1= 3 + 1 = 4. Онда, 2 ні қосу кестесі:
1+2 = 1+ (1 + 1) = (1 + 1)+ 1 = 2+ 1 = 3;
2 + 2 = 2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4;
3 + 2 = 3 +(1 + 1) = (3+1)+ 1 = 4 +1 = 5;
4+ 2 = 4 + (1 + 1) + (4 + 1) + 1 = 5+1= 6 пайда болады .
Бұл жолмен бір ханалы сандарды қосу кестесін түзуіміз мүмкін .
Жоғарыдағылардан көруіміз мүмкін , егер натурал сандар қатарында а дан тiкелей кейін келетін b та санды санасак, нәтижеде ахыры саналған сан а және b сандардың қосындыси болады және ол а + b көріністе белгіленеді . Мұнда а бірінші қосылушы, b - екінші қосылушы , а + b болса қосынды деп аталады .
Қосу амалы төмендегі қасиеттерге ие :