Тақырып: теріс болмаған бүтін сандар жиынын аксиоматик қҰРУ

ТАҚЫРЫП: ТЕРІС БОЛМАҒАН БҮТІН САНДАР ЖИЫНЫН АКСИОМАТИК ҚҰРУ
1.1. Пеано аксиомалары.
Натурал сандар теориясын аксиома­тик құруда Пеано (1858—1932) анықтама берілмейтін түсінік ретінде “натурал сан ” және анықтама берілмейтін қатынас ретінде “...ден кейін келеді ” деген қатынасты негіз қылып алған болып, олар төмендегілерден тұрады:
1^o . Еш бір натурал саннан кейін келмейтін бірғана натурал сан бар , ол 1 саны.
Бұл аксиомадан көрініп тұр, натурал сандар жиынында бірінші элемент анықталған , ол 1 санынан тұрады .
2^o. Әр қандай а натурал сан үшін одан тiкелей кейін келетін бірғана а¹ натурал саны бар болып , онда а =b болса , а¹ = b¹ болады .
Бұл аксиома натурал сандар жиынының шексіз екендігін көрсетеді , себебі кез келген натурал саннан тiкелей кейін келетін натурал сан бар .
3^o. Кез келген натурал сан тiкелей біреуден артық болмаған натурал саннан кейін келеді , яғни а¹ = b¹ болса , онда а=b болады .
Бу аксиомадан көруіміз мүмкін , берілген натурал саннан кейінгі санға бір неше рет өткенде де бәрі бір тек қана бір санның өзі келеді , себебі керісінше кейінгі сан еш болмағанда екі саннан кейін келер еді . Демек , натурал сандар жиыны қатъий тәртіптелген жиын .
4^o. Егер бірер S заң 1 саны үшін орынды екендігі дәлелденген болса және оның n натурал саны үшін орынды екендігінен кейінгі n+1 натурал сан үшін дұрыс екендігі келіп шықса ,бұл S заң барлық натурал сандар үшін орынды болады .
Бу аксиома Математик индукция аксиомасы деп аталады .
Натурал сандар жиынындағы барлық сандар үшін “теңдік ” қатынасы төмендегі қасиеттерге ие :
1^o. Рефлексивлик қасиеті . Әр қандай натурал сан өз-өзіне тең , яғни
( ) (a = a).
2°. Симметриклик қасиеті . Егер әр қандай а натурал сан b на­турал санға тең болса , онда b натурал сан а натурал санға тең болады , яғни
( ) (a = b => b = а).
3°. Транзитивлик. Егер а натурал сан b натурал санға , b натурал сан с натурал санға тең болса , онда а натурал сан с натурал санға тең болады , яғни ( а, b, c ) (а = b, b=c => а = c).