Тақырып: теріс болмаған бүтін сандар жиынын аксиоматик қҰРУ

Айыру амалының анықтамасы және қасиеттері.

Айтайық , бізге екі қосылушының қосындыси а және қосылушылардан бірі b берілген ҳолда екінші қосылушыны табу талапқилинсин. Демек , сондай x саны ни табукеракки, мұнда а = b + х болсын .
Т а ъ р и ф. Берілген а саннан b санды айыру деб, b ға қосқанда а пайда болатын х санды табуға айтылады. (Бунда: а - кемеюші ; b –айрылушы , х - айырма деп аталады және x = а – b көріністе жазылады ).
Анықтамадан көруіміз мүмкін , кемеюші айрылушы мен айырманың қосындысынан иборат болады : а - b = х => а =b + х.
Соңғысынан көруіміз мүмкін , кемеюші айрылушы дан кіші болады : а  b.
Эслатма. Теріс болмаған бүтін сандар жиынында кемеюші айрылушы дан үлкен немесе оған тең болғандағана айыру амалы анықталған болады , яғни а  b болғанда а - b айырма бар болады .
Айыру амалы төмендегі қасиеттерге ие :
1^о. Егер екі санның айирмасына айрылушы қосылса, кемеюші пайда болады , яғни ( ), а - b = с  а = b + с болады .
Дәлел . Айыру амалының анықтамадан а- b = с немесе с + b = а. Бірақ
c = а-b =>c + b = (а-b) + b=а. Демек , а = b + с болады .
2°. Егер екі сан қосындысынан қосылушы лардан бірі айрылса, екінші қосылушы пайда болады , яғни ( ), [(а + b) - b = а] болады .
3°. Берілген санға екі сан айырмасын қосу үшін берілген санға кемеюшіні қосып, нәтижеден айрылушыны айыру жеткілікті : ( а + (b - c) = (а + b) - с].
4°. Берілген саннан қосындыни айыру үшін шу саннан қосылушы ларды кетпе-кет айыру жеткілікті : ( [(а -(b + c) = а- b- с].
5°. Берілген саннан айирмани айыру үшін кемеюшіні айырып , шыққан натижеге айрылушыны қосу жеткілікті : ( ), [a - (b - c) - (a - b) + с].

4. 
   Натурал сандарды көбейту амалы анықтамасы және қасиеттері
   

Әр бірі a ға тең болған b та натурал сан қосындысы a+a+a+…+a ны табу талап қылынған болсын . Бундай көріністегі қосындыны есептеу көп жағдайларда практикалық жағынан қиыншылық туғызады . Соның үшін бірдей қосылушы лар қосындысын табуды оңайластыру мақсатында жаңа амал кірітіледі .бұл амал көбейту амалы деп аталады .
1-Анықтама . Әр бірі a ға тең болған b та қосылушының қосындысын табуға көбейту амалы дейіледі және символик равишда “а  b” немесе “a b” көріністе белгіленіп , “а санының b санына көбейтіндісі” деп оқытылады.
Демек , а  b=а+а + а + ... + а немесе a b =а+а + а + ... + а.
Мұнда a b - көбейтінді, а, b – көбейтушілер деп аталады .
Көбейту амалының аксиоматик анықтамасы төмендегідей :