T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

Isbot. 0  Zaruriyligi. 
{xn}  ketma-ketlik  chegaralangan boMsin.  U holda 
a 
va 
b 
haqiqiy  sonlar  topilib  barcha  n  natural  sonlar  uchun 
a  <  x n  <  b 
tengsizlik 
bajariladi. 
M 
=   m ax (|a |, |b |)   deb  olsak,  u  holda  barcha  n  natural  sonlar  uchun 
—M  <  x n  <  M 
yoki 
\xn \ 
<   M  bajariladi.
Yetariligi. 
Agar  {xn}  ketma-ketlik  uchun 
M  
musbat  son  topilib,  barcha 
n
 
natural  sonlar  uchun  |xn |  < M   tengsizlik  bajarilsa,  u  holda  {xn}  chegaralangan
25

---

ketma-ketlik  bo‘ladi.  Buni  isbotlash  uchun  chegaralangan  ketma-ketlikning  2.6- 
ta’rifida 
a — —M
, 
b - M
  deb olish yetarli.  ♦
ft2
2.9-misol.
  {xn}  =   ( —l ) n  +  
ketma-ketlikning  chegaralangan  ketma- 
ketlik ekanligini  isbotlang.
Yechish. 
2.8-teoremadan 
foydalanamiz. 
|лгтг|  =   [(—I ) ”  +   "  |  <
|( —l ) n |  +  I- 7—-I  =   1 +   * 
■
  <  1
  +  
—
  2  munosabatlardan  k o ‘rinadiki,  barcha 
ln^ + 1  I 
n^ + l 
n2
n
  natural  sonlarda  |лт„ |  < 2   tengsizlik  o ‘rinli.  Demak,  {xn}  chegaralangan  ketma- 
ketlik  ekan.
Geometrik  nuqtayi  nazardan 
a  <  x n  <  b
  tengsizlik,  chegaralangan  {*n } 
ketma-ketlik  hadlari 
[a,  b]
  kesmaga tegishli  ekanligini  bildiradi.  Aksincha,  ketma- 
ketlikning barcha hadlari  biror kesmaga tegishli  bo'lsa,  u chegaralangan bo‘ladi.
Haqiqatan  ham,  {*„}  ketma-ketlikning  barcha  hadlari  biror 
[c, d]
  kesmaga 
tegishli bo‘lsa, u holda ixtiyoriy 
n e   N
  uchun 
x n
  6 
[c, d]
 bo‘ladi.  Bundan 
с  <  x n  <
 
d
  tengsizlikka  ega  bo‘lamiz.  Bu  esa  {jcn}  ketma-ketlikning  chegaralanganligini 
bildiradi.
2.10-ta’rif.
  Agar  ixtiyoriy 
M
  musbat  soni  uchun  shunday  n nomer  topilib, 
(xn |  >  
M
  tengsizlik bajarilsa,  u holda {xn}  ketma-ketlik chegaralanmagan  deyiladi.
Ketma-ketlik  chegaralanmaganligining  geometrik  ma’nosi  quyidagidan 
iborat:  har qanday  [-M;M]  (M>0)  kesma olmaylik,  bu kesmaga tegishli  bo‘lmagan 
ketma-ketlikning biror hadini  ko‘rsatish  mumkin.