T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

l-§. Hosila yordamida funksiyani monotonlikka tekshirish
1.1. Funksiyaning o‘zgarmas!ik sharti
8.1-teorema.
  f(x)  funksiya  (a,b)  da  differensiallanuvchi  boMsin.  Shu 
intervalda^ft) funksiya o‘zgarmas boMishi uchun/'(x)  = 0 boMishi zarurva yetarli.
Isbot. 
0  Zarur/igi  ravshan.  Chunki  funksiya  o‘zgarmas  boMsa,  barcha 
nuqtalarda f'(x) = 0 boMadi.
Yetarliligi.  Shartga ko‘ra f(x)  funksiya (a,b)  intervalda differensiallanuvchi, 
ya’ni (a; b) oraliqga tegishli ixtiyoriy x uchun chekli f  '(x) hosila mavjud vaf'(x)=0. 
Endi  xi
2
  boMgan  ixtiyoriy  xi,x2e(a;b)  nuqtalami  olaylik.  Qaralayotgan  f(x) 
funksiya 
kesmada Lagranj  teoremasining barcha shartlarini  qanoatlantiradi.
Demak, (jci;xj) intervalga tegishli shunday с nuqta topilib,
/ ( * 2) - / ( * , )   =  / ’( 0 ( * 2 - * i )  
(1) 
tenglik o‘rinli boMadi. Teorema shartiga ko‘ra ixtiyoriy x 6  (a; b) uchun f '(x )  =  0, 
bundan /'(c )  =  0, va (1) tenglikdan f(x 2) — f ( x i)  = 0 ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib,/fx) funksiyaning (a;b) intervalning istalgan ikkita nuqtasidagi 
qiymatlari o‘zaro teng.  Demak, funksiya o'zgarmas boMadi. ♦
Bundan integral hisobda muhim rol o'ynaydigan quyidagi natija kelib chiqadi
8.2-natija.
  Agar f(x)  va  g(x)  funksiyalar  (a,b)  da  chekli  f'(x)  va  g'(x) 
hosilalarga  ega  va  f(x )= g'(x )  tenglik  o‘rinli  boMsa,  u  holda  f(x)  bilan  g(x) 
funksiyalar o‘zgarmas songa farq qiladi:
f(x)=g(x)+C,  C=const.
Haqiqatan ham, shartga ko‘ra (f(x)-g(x)) ’=C '= 0. Bundan 1-teoremaga asosan 
f(x)-g(x)=C, ya ni f(x)=g(x)+C tenglik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
83-misol. 
Funksiyaning o‘zgarmaslik shartidan foydalanib 
sin2 x =  ^ (1 — cos2x) ayniyatning o‘rinli ekanligini isbotlang.
186

---

Yechish. 
Quyidagi funksiyani qaraymiz: f(x )  =  sin 2 x — ^(1 — cos2x) bu
funksiya  (-oc;+oc) da aniqlangan, differensiallanuvchi va hosilasi aynan nolga teng: 
f ’(x)  =  2sinxcosx — sin2.x = 0.  Funksiyaning o'zgarmaslik shartiga ko'ra
1
,
:sinz x — - (1 -  cos2x)  = С 
o'rinli.  С ni aniqlash uchun дг argumentga qiymat beramiz, masalan x=0 bo'lsin.  U 
holda С =  0 va sin2 x — i ( l  — cos2x)  = 0 yoki sin2*   = ^(1 — cos2x) bo‘ladi.