T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

Isbot 
(7-15-masala).
2.2. 
— 
ko‘rinishdagi  aniqmaslik. 
Agar  x  -» 
oo 
da f(x )  -* 
oo, 
g(x) 
-» 
oo
OO
bo'lsa, 
ifoday ko'rinishidagi aniqmaslik deyilar edi. Endi bunday aniqmaslikni
ochishda ham f ix ) va g(x ) funksiyalaming hosilalaridan foydalanish mumkinligini 
ko'rsatadigan teoremani keltiramiz.
7.13-teorema. 
Agar 
1 ) f ( x )  
va  g(x) 
funksiyalar 
(a;o o ) 
nurda 
differensiallanuvchi,  hamda  a'(x ) Ф 0,  2) 
lim /(x )  =  lim  g(x)  = 
oo, 
3)
X - * o o
 
JC-» + co
lim  ^~r~  mavjud  bo'lsa,  u  holda  lim 
mavjud  va  lim 
=  lim
x-*co  g'(x) 
J
 
ДГ—»oo  fl(x ) 
J 
x-*oo 
g(x) 
x-*oo  g'(x)
bo'ladi.
f'(x ) 
f{x)
Isbot. 
0  Teorema shartiga ko'ra  lim  ——  mavjud.  Aytaylik,  lim  ——- = fj.
x-+ao  g'(x) 
J
 
X -.
0
O 
g(x)
bo'lsin.  U  holda  Ve > 0  sonni  olsak  ham  shunday  N  > 0  son  topilib,  x > N 
bo'lganda
£ 
f'( x )  
£
tengsizliklar  bajariladi.  Umumiylikni  cheklamagan  holda  N  >  a  deb  olishimiz 
mumkin.  U holda x  > N tengsizlikdan x 6  (a; 
oo) 
kelib chiqadi
Aytaylik, x > N bo'lsin. U holda [N; x] kesmada/(x) va g (x ) funksiyalarga 
Koshi teoremasini qo'llanib quyidagiga ega bo'lamiz:
S b ^  = ^ , b u y e r d a i V < c < A : .
f f W - f l( N )  
9 '{C )
Endi с > N bo'lganligi sababli x = с da (3) tengsizliklar o'rinli:
171

---

£ 
f  
(с) 
£
V - ~ <   -—
<11+ -,
2 
g  (с) 
2
£ 
fix )- f(N ) 
E
tengsizliklarga ega boMamiz.
Teorema shartiga ko‘ra  lim / ( * )   = 
oo, 
lim  g (x )  = 
oo, 
f(N ) Va q(N ) lar
X - * o o  
X - * + o o  
y  
'
esa chekli sonlar.  Shu sababli 
x
 
ning yetarlicha katta qiymatlarida
g(x)-g(N)
f(X)
kasrdan istalgancha kam farq qiladi.  U holda shunday M soni topilib, x > M
larda
£ 
f( x ) 
£
** 
2 < ^ 0 0 < / i + 2' 
(4) 
tengsizlik o‘rinli boMadi.
Shunday qilib, ixtiyoriy 
e
 >  
0  son uchun shunday 
M
 
soni mavjudki, barcha 
x 
> 
M
 
larda (4) tenglik o‘rinli boMadi, bu esa  lim 
= 
и
 
ekanligini anglatadi ♦
x-*oo 
g(x)
7.14-misol. 
Ushbu  lim  —  limitni hisoblang
дг->со 
x 
°
Yechish. 
f(x )  =  Inx,  g (x )  =  x  funksiyalar uchun  7.13-teorema shartlarini 
tekshiramiz:  1)  bu  funksiyalar  (0 ,
+oo) 
da  differensiallanuvchi;  2)  f\x)  =  1/x
g (*)  = 1;  3) 
=  ^linri^  —  = 0,  ya'ni  mavjud.  Demak,  izlanayotgan
ItlX
limit ham mavjud va  lim  —  = 0 tenglik o‘rinli.
JT—*oo 
X
2.3. 
Boshqa  ko‘rinishdagi  aniqmasliklar.  Ma’lumki, 
lim /(x)  =
X -* o o
= °° BoMganda f(x ) g (x )  ifoda 
O-oo 
ko‘rinishidagi  aniqmaslik boMib, 
uning quyidagi
с  \
 
/ ( * )  
g 0 0  
f(x )g (x )
  =  
—j— = ~
y
~
Ж х) 
Ш )
b u n d a n   esa
172

---

kabi  yozish  orqali  ^  yoki  ^   ko'rinishidagi  aniqmaslikka  keltirish  mumkin. 
Shuningdek,  lim /(x )  =  +
00
,  lim ^(x )  = 
+00
  bo'lganda f(x ) — g{x)  ifoda 
00
 —
ДГ-+00 
X->oo
00 
ko'rinishidagi aniqmaslik bo‘lib, uni ham quyidacha shakl almashtirib
m
- a
T ix j'K x )
^  ko'rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin.
Ma’lumki,  x -* a  da / ( * )   funksiya  1,0  va 
00
  ga,  g(x )  funksiya  esa  mos 
ravshda 
00
,0  va  0  intilganda  (J(x ))9^   darajali-ko‘rsatkichh  ifoda  I 00,  0°,  oo0 
ko‘rinishidagi  aniqmasliklar  edi.  Bu  ko'rinishdagi  aniqmasliklarni  ochish  uchun 
awal  у  =   (f(x ))gW   ni  logarifmlaymiz:  Iny =  g (x )ln (f(x )).  Bundax -» a da 
g (x )ln (f(x )) ifoda O-oo ko'rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi.
Shunday  qilib,  funksiya  hosilalari  yordamida  O-oo, 
00
 — oo,  1°°,  0°,  oo°, 
ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochishda, ulami j|yoki £  ko'rinishidagi aniqmaslikka 
keltirib, so'ng yuqoridagi teoremalar qo'llaniladi.
7.15-eslatma.
  Agar f(x )  va g(x)  funksiyalaming f ( x )   va g ‘(x)  hosilalari 
ham f(x ) va g(x) lar singari yuqorida keltirilgan teoremalaming barcha shartlarini 
qanoatlantirsa, u holda
/ ( * )  
f ( x )  
/ " ( * )
lim  -p-r =   lim  ——
t
 =  lim
g(x ) 
*-»a 
g 
(a :) 
x->a 
g "(x )
tengliklar o'rinli bo'ladi, ya’ni bu holda Lopital qoidasini takror qo'llanish mumkin 
bo'ladi.
1
7.16-misol.
 Ushbu lim  ( ~ ) л2  limitni hisoblang.
1
Yechish. 
Ravshanki,  x-*0  da  (“ p )* 2  ifoda  l 00  ko‘rinishdagi  aniqmaslik 
bo'ladi.  Uni logarifmlab, ^ aniqmaslikni ochishga keltiramiz:
173

---

1 
х - sinxcosx 
1 
(x — sinxcosx)
= -  lim  ----- ----- = -  l i m -----——-----=
2  *-»o 
x 3 
2  x->o 
(x  У
1 ,. 
1 —cos 2x + s in 2x 
1 
2 sin2x 
1 
1 
= -  hm   
— ----- =  -  l i m --- —  = -■ 2  = -
2  *-*o 
3x2 
6  ДГ—
*o 
x 2 
6 
3
Demak, lim  [
x->0  \
— ) 
= ез 
x->0 
\   x   /
4~e.
Mashq va masalalar
7-15.  7.12-teoremani  isbotlang.  Ko'rsatma:  Umumiylikni  saqlagan  holda, 
teoremadagi с sonni musbat deb oling va x = |  x almashtirishdan foydalaning.
7-16.  7.13-teoremaning  x -> a  da  ham  o‘rinli  bo'lishini  ko'rsating. 
Ko'rsatma:  t = 
almashtirishdan foydalaning.
Lopital qoidasidan foydalanib limitlami toping (17-30):
_ 
x3+x-10
7-17.  lim —----
x-*2 х 3—Ъх—2
7-19.  lim —
x-»0  s in x
7-21.  lim  4
X-*+oa X3
7-23.  lim  x 2 ■
 e~x.
X-»+oo
7-25.  lim x (e* — lY
*->00 
V 
J
7-27.  lim x ^ *
X-+0
7-29.  lim  (- Y
x-+0
  W
7-18.  lim —
x—
*l x - l
lnx
7-20.  lim
X —*+oo 
X
7-22. lim
in *
x-*0 Ctg 2x
7-24.  lim (- — —
X-»0 
''X
 
Sin 
X /
7-26.  lim
x-*l  V l- X 3 
1 
- X 2J
7-28.  lim (cos 2 x )^  . 
x-»o
7-30.  lim xi+m*.
x-*0
3-§. Teylor formulasi
Teylor formulasi matematik analizning eng muhim formulalaridan biri bo'lib, 
ko'plab nazany tatbiqlarga ega. U taqribiy hisobning negizini tashkil qiladi.

---

3.1. Teylor ko'phadi. Peatio ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi.
Ma’lumki,  funksiyaning  qiymatlarini  hisoblash  ma’nosida  ko‘phadlar  eng  sodda 
funksiyalar hisoblanadi.  Shu sababli funksiyaning x0 nuqtadagi qiymatini hisoblash 
uchun uni shu nuqta atrofida ko'phad bilan almashtirish muammosi paydo boMadi.
Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta'rifiga ko‘ra, agary=f(x) funksiya x0 
nuqtada  differensiallanuvchi  boMsa,  u  holda  uning  shu  nuqtadagi  orttirmasini 
д/ ( *  о)  =  Г Ы Ь х  + 0(Дх), ya’ni
/ ( * )   =  f(x 0)  + f ( * b ) ( *  -  *o) + o(x -  x0) 
ko‘rinishda yozish mumkin.
Boshqacha aytganda x0 nuqtada differensiallanuvchi y=f(x)  funksiya  uchun 
birinchi darajali
Pi 00   =  /(* o ) + bt ( x - x 0) 
(1)
ko‘phad mavjud boMib, x->x0  da / ( * )   =  Px(x) + o(x -  x0) boMadi.  Shuningdek, 
bu ko'phad Px(x0)  = f(x 0),  P[(x0)  = b  = f '( x 0) shartlami ham qanoatlantiradi.
Endi  umumiyroq  masalani  qaraylik.  Agar x  = xQ  nuqtaning  biror  atrofida 
aniqlangan  у = f(x )  funksiya  shu  nuqtada  f'(x ), f " ( x ) ,..., /  
(x)  hosilalarga 
ega boMsa, u holda
/ ( * )   =  Pn(x) + o((x -  x0)n) 
(2)
shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta boMmagan Pn(x) ko‘phad mavjudmi?
Bunday ko‘phadni
Pn(x)  = b0 + bx(x -  x0) + b2(x -  x0) 2+ ... +bn(x -  x0)n, 
(3) 
ko‘rinishda izlaymiz. Noma’lum boMgan b0, bx, b2......bn koeffitsientlami topishda
p„(*„) =/(*„). Р„Ч* о) = 
ГЫ,Рй'ы
 = /"(*„).....
РпМЫ
 =
=  Г(п)Ы
 
(4) 
shartlardan foydalanamiz. Aw al P„(x) ko‘phadning hosilalarini topamiz:
Pn(x)  = bx  + 2b2(x - x 0) + 3b3(x — x0) 2+ ...+ nbn(x — x0)n_1,
Pn 
(x) 
= 
2 1  b2 
+ 
3-2b3(x 
— 
x0)+ ...+ n  
(n -  
l) b n(x 
- 
x0)n~2,
K "(x ) 
= 3-2 -
 lb3 + ... +n(n — l) ( n  — 2)bn(x — x0)n-3,
175

---

рпП\х)  = n (n -  l )  (n -  2)-...  2 1 b n.
Yuqorida olingan tengliklar va (3) tenglikning har ikkala tomoniga x o‘miga 
x0 ni qo'yib barcha b0, bv b2,...,b n koeffitsientlar qiymatlarini topamiz:
Pn(x o)  = /(*o )  = b0,
Pn(x o)  = / ' U 0)  = bv 
Р п ' Ы = Г Ы   = 21 Ь 2  = 2\Ь2,
РпП)(*о)  = / (n)(*0)  = n ( n -  l ) : . .   2 1 bn  = n! bn
Bulardan 
b0  = / ( * 0),  bx  = /'(*,0),  fe2  =  ± f"{ x 0) , ...  , bn  = ^ / (n)(^o) 
hosil qilamiz. Topilgan natijalami (3) qo‘yamiz va
Rn
0 0   =  
f ( x
o) + 
f   ( x 0) ( x
 — x0)  + ~
f " ( x 0) ( x   —  X
q
) 2  + •••
+ ^ / (п)Ы ( х - х 0Г ,
 
(5)
ko‘rinishda ko'phadni hosil qilamiz. Bu ko'phad Teylorko phadi deb ataladi.
Teylor  ko'phadi  (2)  shartni  qanoatlantirishini  isbotlaymiz.  Funksiya  va 
Teylor ко‘phadi  ayirmasini  Rn(x)  orqali  belgilaymiz:  Rn(x)  =  / 0 0  -  Pn(x).  (4) 
shartlardan Rn(x0)  = R'n(x0)  =  -   = R’n(x0)  = 0  boMishi kelib chiqadi.
Endi 
Rn(x)  = o((x -  дг0)п), 
ya’ni 
lim 
= 0 
ekanligini
ко  rsatamiz.  Agar x -» X
q
  bo'lsa,  lim  ■
■
 
ifodaning - ko‘rinishdagi aniqmaslik
x
-*X
q
 \
X—X
q
) 
0
ekanligini ko‘rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini n marta tatbiq qilamiz. U holda 
lim  ■
 
, -----=   Вга! Л 0  =
x-+x0 (*-*o)n 
x^>x0 n(x-x0)n  1 
x^x0  п!(дг—дг0) 
д:-»Хо 
n!
R
 
)
J*™ 
= 0 » demak 
x 
-» 
x0 
da 
Rn(x) 
=  0((дг -  
x0)n
) o‘rinli ekan.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi:
7.17-teorema.  Agar у — f(x )  funksiya x0 nuqtaning biror atrofida n marta 
differensiallanuvchi boMsa, u holda x -» x0 da quyidagi formula
/CO   =  / ( * o) +  Г Ы ( х  - x0) + j J " ( x Q){x - xQ) 2 +
176

---

+--. + -\ /(n)( * o ) (*   ” * o )n  + o ( ( * - * o ) n ) 
(6)
П!
o'rinli bo'ladi
Bu yerda Rn(x)  =  0((x — x0)n)  Peano ко rinishidagi qoldiq had deyiladi. 
Agar (6) formulada дг0  = 0 deb olsak, Teylor formulasining xususiy holi hosil 
bo'ladi:
/(*) = /(0) + 
r(.0)x+ lf"(0)x4...+-fW(p)x’' + o(xn).(7)
2
! 
n\
Bu formula Makloren formulasi deb ataladi
3.2. 
Teylor  formulasining  Lagranj  ko'rinishdagi  qoldiq  hadi. 
Teylor 
formulasi  Rn(x)  qoldiq  hadi  yozilishinmg  turli  ko'rinishlari  mavjud.  Biz  uning 
Lagranj ko'rinishi bilan tanishamiz.
Qaralayotgan  f(x )  funksiya x0  nuqta  atrofida n + 1  -tartibli  hosilaga  ega 
bo'lsin  deb  talab  qilamiz  va  yangi  g(x )  =   (x - x0) n+1  funksiyani  kiritamiz. 
Ravshanki,
e (* 0)  = g\x„)  = . . .=  
= 0;  s (n+,4*o)  =  (П + 1)!  *  0.
Ushbu Rn(x)  = f(x ) — Pn(x)  va g(x )  = (x — x0) n+1  funksiyalarga Koshi
teoremasini  tatbiq  qilamiz.  Bunda 
Яп(*а) = 
Rh(xo) 
—■
■•• = 
(x
o) = 0 
e’tiborga olib, quyidagini topamiz:
fln P ) 
R n W  ~ fln(*o)  _  R'n(c 
1
)  _   ^  n(ci) ~ fln P o )  _  R"n(.c2) 
g(x )  ~  g (x )- g (x 0) 
g '(x ) 
g '(x )- g '(x 0) 
g "(c 2)
g ,n>(c„) 
g '" > (x )- g (n>(x„) 
a (n+1)(£>' 
bu yerda ct  E  (x0;x),  c2  E  (x0;c2
,cn  E 
Shunday qilib, biz
R„(x)
g (x ) 
g {n+1K4) 
ekanligini ko'rsatdik, bu yerda  £ e (x 0;x ). Endi g(x )  =  (дг — x0) n+1,
^ (n+D(^) =  (n + 1)!,  Яп(п+1)(£)  = /^ n+i)(£)  ekanligini  e’tiborga  olsak 
quyidagi formulaga ega bo'lamiz:
177

---

R n W   = -^ + 1},  (x -  X0)n+\ £E  (x0;x) 
(8)
Bu  (8)  formulani  Teylor  formulasining Lagranj  ко  rinishidagi  qoldiq  hadi 
deb ataladi.
Lagranj  ko‘rinishdagi qoldiq hadni
r,  /  \
 
f <
'n+1\x0 + d(x — x0))
R" W   = ----- (n + 1)! 
(» "  ^ " +’' 
№
ko  rinishda ham yozish mumkin, bu yerda 0  < в <  1.
Shunday qilib, / ( * )  funksiyaning Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq hadli Teylor 
formulasi quyidagi shaklda yoziladi:
~ f( x o) +  f  (
xq
)(
x
 — x0) +  — f   (xq)(x — x0) 2 + ...+
1 
/  ч 
f (n+1)(£)
+  ~\ f   ”  (* o )(* - * o )n  + ~n + гу   (x - x 0)n+1, 
bu yerda 
(x0;x ).
Agar x0  = 0  boMsa, u holda £ = x0  + 0{x -  x0)  = 0x, bu yerda 0 <  в <  1, 
bo  lishi ravshan, shu sababli Lagranj kol rinishidagi qoldiq hadli Makloren formulasi
f(x )  = /(0 ) + / ' ( 0)x + l / " ( 0 ) x 2+ ... + - / (n)(0)x(n)
2! 
n\
f {n+1)(Ox)
+ --------
x
  +1 
flO ’i
(n +
1
)!
shaklida yoziladi.
4-§. Ba’zi bir elementar funksiyalar uchun Makloren formulasi
4.1. 
ex 
funksiya uchun Makloren formulasi. 
f(x)=e* funksiyaning (-оо;-кю) 
oraliqda barcha tartibli hosilalari mavjud: f c)(x)=ex, k= l,  2,  ..., n+1.  Bundan x=0 da 
f k>(0)-l, k=J,  2, 
n ,f n4>(6x)=eac\a. f(0)=\  hosil boMadi.  Olingan natijalami  3-