T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

Yechish. 
Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini topamiz: у ’ - 
20 X 3.
 
Bundan, 
agar x>0 bo'lsa, у ’>0,  agar x<0 b o 'Is a y ’O  bo'ladi.  Demak, (-oo;0) oraliqda egri 
chiziq qavariq, 
(0;+oo) 
oraliqda esa botiq bo'ladi
6.2. 
Egri chiziqning burilish nuqtasi. 
Endi egri chiziqning burilish nuqtasi 
tushunchasini kiritamiz.
8.33-ta’rif.
 
Agar 
Xo 
У 
nuqtaning 
shunday  (Xo-S;xo+S) 
atrofi  topilib,  f(x)  funksiya  (xg- 
S;x0)  oraliqda  botiq  (qavariq),
(xo;xo+S)  oraliqda  esa  qavariq 
(botiq)  bo'lsa,  u  holda 
xo
 
nuqta 
О 
y=f(x)  egri  chiziqning  burilish
nuqtasi deyiladi. 
50-rasm
209

---

Agar burilish nuqtasida urinma mavjud bo'lsa,  u  egn  chiziqni  kesib  o'tadi. 
(50-rasm)
8.34-teorema.  Aytaylik, y=f(x)  funksiya x=x0 nuqtada  differensiallanuvchi 
bo'lsin.  Agar x=x0 nuqta funksiyaning grafigining burilish nuqtasi  bo'lsa,  u holda 
shu  nuqtada  funksiyaning  ikkinchi  tartibli  hosilasi  mavjud  va  nolga  teng  yoki 
mavjud bo'lmaydi.
Isbot. 0 Aytaylik, x0 nuqtaf(x) ning burilish nuqtasi bo'lsin. Teskarisini faraz 
qilamiz:  f  (x0) mavjud va  f  (
xq
)*0.  U holda  f  (x0)<0 yoki  f  (x0)>0 bo'ladi.
f *  (xo)<0  ( j   (x0)>0)  bo'lgan  holda  8.31-teoremaga  binoan  xo  nuqtaning 
biror  (x(r5;xo+S)  atrofi  topilib, bunda f(x)  funksiya qavariq (botiq) bo'ladi.  Bu xo 
ning  burilish  nuqta  bo'lishiga  zid.  Demak,  burilish  nuqtada  f  (x0)  nolga  teng 
bo'ladi yoki mavjud bo'lmaydi.
f  (xo)=0  bo'lishi  yoki  f  (x)  ning  mavjud  bo'lmasligi  burilish  nuqtasi 
mavjudligiinngfaqat zaruriy sharti bo'lib, yetarli shart bo'laolmaydi. Masalan,у =x4 
funksiya uchun у -4x3,  y ’’=J2x2 v a > ”(0)=0  bo'ladi.  Lekin, x=0  burilish  nuqtasi 
emas. ♦
Endi  burilish  nuqtasi  mavjudligining  yetarli  shartini  tayinlovchi  teoremani 
keltiramiz.
8.35-teorema. A ytaylik,/^ funksiya x=xo nuqtada differensiallanuvchi va xo 
nuqtaning shunday  (xr S;  x0+S) atrofi  topilib,  (xo-S;x0)  va  (xft- x0+S)  intervallarda 
f  (x) mavjud, hamda har bir intervalda  f ” (x) ishorasi o'zgarmas bo'lsin. Agar xo 
nuqtaning  chap  va o'ng  tomonlarida 
(x)  har  xil  ishorali  bo'lsa,  xo  nuqta f(x) 
funksiyaning burilish nuqtasi bo'ladi; agar  f ” (x) bir xil ishorali bo'lsa, u holda xo 
nuqtada burilish bo'lmaydi.
Isbot.  0  Haqiqatan  ham, xo-S bo'lganda  f *  (x)<0  ( f *  (x)>0)  bo'lsa, 
дго<х<хо+^bo'lganda esa 
J ” (x)>0 ( f  (x)<0) bo'lsa, 8.31-teoremaga ko'rax0 dan
210

---

chapda f(x)  funksiya  qavanq  (botiq),  x0  dan  o‘ngda  esa  botiq  (qavariq)  bo‘ladi. 
Demak, x0 nuqta f(x) funksiyaning burilish nuqtasi boMadi.
Agar (xorS;xo) va (x0; x0~S) intervallarda  f "  (x) bir xil ishorali, masalan  f *  
(x)<0  boMsa,  u  holda  bu  intervallarda  f(x)  funksiya  qavariq  bo‘lib,  burilish 
boMmaydi. ♦
Shunday qilib,y(x) funksiyaning bunlish nuqtasini aniqlash uchun  f  (x)=0 
tenglamani  yechamiz hamda  f *  (x)  mavjud  boMmagan nuqtalami  topamiz.  Hosil 
qilingan har bir x^nuqtadan chapda va o‘ngda  j n (x) ning ishorasini  tekshiramiz.