T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

“х
 ning kasr qismi”.
f  1, agar 
x
 ratsional son bo'lsa,
c) Dirixle funksiyasi, 
D(x)=
 
.
[0, agar 
x
 irratsional son bo Isa
Mashq va masalalar
4-38.  4.29-teoremani kamayuvchi funksiya uchun isbotlang.
4-39.  Agar 
fix )
  funksiya  [a;fc]  kesmada  aniqlangan,  uzluksiz  va 
teskarilanuvchi bo'lsa, u holda bu funksiya qat’iy monoton ekanligini isbotlang.
4-40. Agar 
fix)
 funksiya biror oraliqda aniqlangan va qat’iy monoton bo'lsa, 
u holda uning teskari funksiyasi uzluksiz bo'ladi. Isbotlang.
4-41. 
x0
  nuqtada  uzluksiz,  lekin  teskari  funksiyasi 
y0
  = / (x 0)  nuqtada 
uzilishga ega bo'lgan /  funksiyaga misol keltiring.
4-42. Qat’iy monoton, uzluksiz, lekin teskarisi uzluksiz bo'lmagan funksiyaga 
misol keltiring.
4-43.  Aytaylik  /   funksiya  [0,1]  da uzluksiz,  qiymatlar  to'plami  [0,1]  ning 
qismi bo'lsin.  U holda / ( с )   = 
с
 bo'ladigan с 6  [a, 
b]
 mavjud ekanligini isbotlang.
4-44.  Aytaylik  /   va 
g
  funksiyalar 
[a,b]
  da uzluksiz,  / ( a )  
> g ia),fib) < 
g{b
)  bo'lsin.  U  holda 
f( c ) = g ( c
)  bo'ladigan 
c€ (a,b )
  mavjud  ekanligini 
isbotlang.
4-45.  Aytaylik /  va 
g
 funksiyalar [0,1]  da uzluksiz, 
f  ° g
  = 
g
 ° /  bo'lsin. U 
holda/(c)  = 
g{c)
 bo'ladigan с e  [0,1] mavjud ekanligini isbotlang.
4-46  Aytaylik  /   va 
g
  uzluksiz  funksiyalar  [0,1]  ni  o'ziga  akslantirsin.  U 
holda 
f(g(c))
  =  ^ ( / ( c ) )  bo'ladigan 
с
 6  [0,1] mavjud ekanligini isbotlang.
4-47.  Aytaylik  /   funksiya 
R
  da  uzluksiz,  / ( / ( * ) )  
~ x
  bo'lsin.  U  holda 
/ ( с )   = с bo'ladigan c 6 f i  mavjud ekanligini isbotlang.
4-48. 
f(x)
 funksiyaning 
X
 to'plamda tekis uzluksiz ekanligini isbotlang:
a) 
f(x) = 3x — 2,  X = R;
 
b) 
fix )
  =  x 2, 
X
 =  (-2; 3);
c )
fix )
  = 
\[x,  X =
  [0;2]; 
d )
fix )
  =  
xsin~,X 
=
  (0;7r].
4-49. 
fix )
 funksiyaning 
X
 to'plamda tekis uzluksiz emasligini isbotlang:
120

---

a)  / ( * )   = 
х2,  X
 = 
R;
 
b
) fix) = sinx2,  X = R;
c) 
fix )
  = cos—, 
X
  =   (0; 1); 
d )/(x )  = 
Inx,  X ~
 (0,1).
4-50.  Agar  funksiya  chegaralangan  intervalda  chegaralanmagan  bo‘Isa,  u 
holda bu funksiya shu oraliqda tekis uzluksiz emasligini isbotlang.
4-51. Uzluksiz davriy funksiyaning tekis uzluksiz ekanligini isbotlang.
4-52.  Ixtiyoriy  n  natural  son  uchun 
у
 =  
xn
  funksiyaning  [0; +oo)  oraliqda 
o‘suvchi  va  uzluksiz  ekanligini  isbotlang.  Bu  funksiyaning  qiymatlar  to‘pIamini 
toping.
4-53.  Quyidagi ayniyatlami isbotlang:
a) 
a*1 ■
 a*2
  = 
a
Xl+Xl; 
b) 
aXl: аХг
  =   a*1-*2;
c) (a*1)*2  =  a*1'*2; 
d)
4-54. 4.42-xossani 0  < 
a
 <   1 hoi uchun isbotlang.
4-55.  Agar  0  < 
a < 1
  va 
x E
  (0; 
+ oo) 
boMsa,  u  holda