T o s h k e n t d a V l a t I q t I s o d I y o t u n I v e r s I t e t I e k o n o m e t r I k a

a 1
  harflar  bilan  belgilangan  b o 'lib ,  biz  ular  orqali  m atem atik  kutilm a 
M ( X )
  va 
dispersiya 
D ( X )
  ni  belgilaym iz.  Bunday  mos  kelish  tasodif emas.  Norm al  taqsimot 
param etrlarining ehtim ollik-nazariy m a ’nosini aniqlashtiruvchi teorem ani ko'ram iz.
Teorema. 
Normal  taqsimot  qonuni  bo'yicha  taqsimlangan 
X  
tasodifiy 
miqdoming matematik kutilmasi bu qonunning О parametriga teng,
  y a’ni
M { X )  
= 
a ,
 
(3.12)
uning dispersiyasi esa -  a 2 parametrga teng, ya 'ni
D ( X )  
= 
a 2
 
(3.13)
X
  tasodifiy m iqdom ing m atem atik kutilmasi:
M { X ) =  
[ lx q > s { x ) d x =  
d x .
■
■
 
a
 
+  
, 
d x   = a ^
2
d l ,
x-a
O-Jl
alm ashtirish 
o'tkazam iz. 
U 
holda 
x ■
integrallash  chegaralari  o 'zgarm aydi va  demak,
ЩХ)=
 
+ 
Гл-'*Л + 4 :   Г
ov2n 
Vn 
-Jn
dt:

---

о 
г~
= 0 + -j=-^ii
 = 
а
V л
(toq  funksiyadan  koordinat boshiga nisbatan sim m etrik oraliq  bo'yicha  integral
sifatida,  birinchi  integral  nolga  teng,  ikkinchi  integral  £ ”
e~''dt = Jn  -
  Eyler-Puasson
integrali).
X
  tasodifiy  m iqdom ing dispersiyasi:
« 
я, 
1
D(X)=
  Г
“(х-аУ<р„(х)ск=
  Г 
(x-a)2
—
j= e  2°'  dx.
Avvalgi 
integralni  hisoblashdagi  kabi 
o'zgaruvchini  xuddi  o'shanday 
x
 = 
a
 + 
uyfYt
  alm ashtiram iz.  U holda
D(X) =  r
  Г
'  lde'\ 
crV
Ъс 
^
B o'laklab  integrallash metodini  qo‘llab, hosil qilam iz
Param etrlar 
a
  va 
cr1
  (yoki 
cr)
  o ‘zgarishida  normal  egri  chiziq  qanday 
o'zgarishini  oydinlashtiram iz.  Agar 
a-const
  bo^lib, 
a
  parametr,  y a ’ni  taqsim ot 
simmetriyasi  m arkazi  o 'zg a rsa 
(a, 
  u   hold a  normal  egri  chiziq  abssissalar 
o ‘qi  bo'ylab  form asini o'zgartirm ay siljiydi (4.6-rasm ).
>
r
a   -   c o n s t
ж
< J i < a 3 < a 3
X
a=const  f
a
0
a x 
a
3
 
03 
I  
0
°  
г
4.6-pacM. 
4.7-расм.
A gar 
a = const
  b o 'lib , 
a 2
  (yoki 
a )
  param etr  o'zgarsa,  u  holda  egri  chiziq
maksimumi  ordinatasi  /„ „ ( 0) = — } =   o'zgaradi. 
a
  o'sishi  bilan  egri  chiziq
ctv2 
я
maksimumi  ordinatasi  kam ayadi,  biroq  har  qanday  taqsim ot  egri  chizig'i  ostidagi 
yuza  birga  teng  b o 'lib   qolishi  lozim  b o 'lg an i  tufayli  egri  chiziq  abssissalar  o 'q i 
bo'ylab  cho'zilib,  yassiroq  bo 'lib   qoladi;  aksincha, 
a
  ni  kam ayishida,  norm al  egri 
chiziq  yuqoriga  tortiladi,  bir  vaqtda  yon  tom onlaridan  siqiladi.  4.7-rasm da 
ах,аг,аг 
paramelrli  normal  egri  chiziqlar ko'rsatilgan,  bu yerda 
al <а1 <аъ.
  Shunday  qilib, 
a 
parametr 
(u 
m atem atik 
kutilma 
ham  
hisoblanadi) 
normal 
egri 
chiziqni 
v a z i у a t i n  i , param etr 
a 2
  esa (u dispersiya ham ) norm al  egri chiziq  f o r m a s i n i  
xarakterlaydi.
Tasodifiy  m iqdom ing 
a =
 0,  cr2  =1  param etrli  norm al  taqsimoti,  y a ’ni 
N(
0;1) 
standart  yoki  norm alashgan  taqsim ot,  m os  norm al  egri  chiziq  esa  standart  yoki 
normalashgan  egri  chiziq deyiladi.
Normal 
taqsimot
  qonun  bo'yicha  taqsim langan  tasodifiy  m iqdor  taqsim ot

---

funksiyasini
Ғ{ж)
 =
29
x  <
  o 
bolganda
formula 
bo'yicha 
bevosita
l  -   e  “   , 
x
  £  0 
bolganda
topishning  murakkabligi  shu  bilan  bog'liqki,  (3.11)  funksiyadan  olingan  integral 
elementar  funksiyalarda  «olinmaydigan»  hisoblanadi.  Shuning  uchun  uni  jadvali 
tuzilgan
Ф{Х) = ^
в"  
ndt 
Laplas  funksiyasi  (ehtimollar  integrali)  orqali  ifodalashadi.  Laplas  funksiyasi, 
M uavr-Laplas  integral  teoremasini  ko'rganim izda, bizga  uchraganini  eslatib  tamiz. 
U yerdayoq uni  xossalari  k rilgan edi.
T eo rem a. 
Normal  taqsimot  qonuni  bo'yicha  taqsimlangan  X  tasodifiy 
miqdoming taqsimot funksiyasi Laplas funksiyasi orqali ushbu
<3 1 4 >
formula bilan ifodalanadi.
(3.23)  form ulaga k o 'ra  taqsimot funksiya