Stiven Xoking inson irodasiga qo‘yilgan haykal

Asosiy algebraik strukturalar
Mavhum algebraning kirish qismiga taalluqli ma’lumotlar keltirilgan ushbu bo‘limni diqqat bilan o‘qib chiqishingizni tavsiya qilamiz. Aks holda, keyingi bo‘limlarda keltiriladigan muhim ma’lumotlarni tushunmay qolishingiz mumkin. Biz esa, o‘z navbatida bu bo‘limni imkon qadar sodda va tushunarli bayon qilishga harakat qilamiz.
Bir yoki, bir necha operatsiyalardan iborat to‘plamlar tarzida qaraladigan asosiy algebraik strukturalarning turi ko‘p. Biz ular ichidan ikkita operatsiya, ya'ni, ○ va  lar ko‘rib chiqiladigan turlarini qaraymiz. Odatda bu ikkala operatsiyalar + va  dan iborat bo‘ladi. Ba’zan esa, tashqi kompozitsiyalarning uchinchi qonunini qo‘llash kerak bo‘lib qoladi. Lekin biz, sodda hollarni ko‘rib chiqamiz. Bunda biz, matematika tilidagi «elementidir» so‘zining o‘rniga  belgisidan foydalanamiz.
Guruh deb, elementlarning A to‘plami va unda aniqlangan ○ operatsiyalarga aytiladi va u quyidagi shartlarni qanoatlantirishi kerak:
1) Istalgan aA uchun n ○ a = a ○ n = a bo‘ladigan neytral element n mavjud bo‘ladi;
2) Istalgan aA uchun a ○ a⁻¹ = a⁻¹ ○ a = n bo‘ladigan teskari element a⁻¹ mavjud bo‘ladi;
3) Istalgan a, b, cA uchun, (a ○ b) ○ c=a ○ (b ○ c) ga muvofiq assotsiaviylik xossasi bajariladi.
Agar, istalgan a, bA uchun, biz aniqlagan operatsiya kommutativlik mavjud bo‘lsa, ya'ni, unda a ○ b = b ○ a nisbat bajarilsa, bunday guruhni kommutativ guruh, yoki, abel[1] guruhi deb ataladi.
Agar, guruhda qo‘shish amali (+) aniqlangan bo‘lsa, unda a ga teskari elementni, −a tarzida belgilanadi va uni a ning «qarama-qarshisi» deb nomlanadi. Bu holatda, neytral element 0 bilan belgilanadi.
Agar, guruhda ko‘paytirish amali () mavjud bo‘lsa, unda, a ga teskari elementni 1a 1/a tarzida belgilanadi. Bu holatda, neytral elementni 1 bilan ifodalanadi.
Halqa bu – yana bir  operatsiyasi mavjud bo‘lgan va assotsiativlik xossasiga ega bo‘lgan kommutativ guruhdir.
4) Istalgan a, b, cA uchun a  (b  c) = (a  b)  c ifoda o‘rinli bo‘ladi.
○ va  operatsiyalar bir-biri bilan, distirbutivlik xossasiga ko‘ra, quyidagicha o‘zaro bog‘langandir:
5) a  (b ○ c) = (a  b) ○ (a  c)
Halqalarga misol tariqasida natural sonlar ℕ, butun sonlar ℤ, ratsional sonlar ℚ, haqiqiy sonlar ℝ, hamda, kompleks sonlar ℂ ni keltirish mumkin. Ko‘phadlar ham halqa tashkil qiladi. Halqalar sohasida ○ operatsiyasi (amali), xuddi ko‘paytirish amali singari, kommutativlik xossasiga ega bo‘ladi va shuning uchun ham uni + belgisi bilan belgilanadi.  operatsiyasi (amali) esa, xuddi ko‘paytirish amali singari ∙ bilan belgilanadi (tushunarli bo‘lishi uchun, buni ham kommutativlikka ega deb olamiz).
Agar ixtiyoriy A qism to‘plam ○ va  amallarni shu to‘plamda chegaralaganda guruh yoki halqa bo‘lib qolaversa, unda bunday A qism to‘plamni qism guruh, yoki, qism halqa deb ataladi. Ideal esa – halqaga oid alohida tushuncha bo‘lib, u shunday BA halqa osti halqasiki, unda, istalgan bB va B ga tegishli, yoki tegishli bo‘lmagan boshqa istalgan elementning ko‘paytmasi ham albatta B ga tegishli bo‘ladi. Ideallarni qo‘shish va ko‘paytirish mumkin. Ideallarni qo‘shish va ko‘paytirishning natijasi ham albatta ideal bo‘ladi. Ideal tushunchasi aslida, son tushunchasini umumlashtirish orqali paydo bo‘lgan. Ikkita I va J ideallar uchun:



Norvegiyalik mashhur matematik Nils Xenrik Abel sharafiga shunday nomlagan.
ga egamiz. IJ ni aniqlash biroz murakkab jarayon. Bu ideal, xI, yJ bo‘yicha, barcha xy ko‘paytmalardan kelib chiqqan. Shunga o‘xshash ko‘paytmalarga ega bo‘lgan har qanday turdagi ideallarning kesishishi natijaviy ideal deyiladi.
Butunlik sohasi deb, ∙ amali uchun nolga bo‘linuvchilarga ega bo‘lmagan A halqaga aytiladi. Boshqacha aytganda, bunday halqada b∙a=a∙b=0 shartga mos keluvchi a va b elementlar mavjud bo‘lmaydi.
Bunday holda esa, A halqa kommutativ halqa bo‘ladi va unda birlik elementi mavjud bo‘ladi; ya'ni, ∙ operatsiyasi uchun birlik vazifasini bajaruvchi neytral element aniqlangan bo‘ladi:
a∙1=a.
Endi, butunlik sohasini 0 siz qarab chiqamiz. Uni A*=A|{0) tarzida belgilaymiz. Agar, ∙ operatsiyasi A* uchun kommutativ guruhni aniqlasa, unda, A ni biz maydon deb ataymiz. Agar, A* kommutativ bo‘lmasa, unda biz A ni jism deb ataymiz. Bunday murakkab ta’riflar va tushuntirishlarda cho‘chishga hojat yo‘q: agar A halqa tugal chekli bo‘lsa, unda, mashhur Vedderbyoner teoremasiga ko‘ra, ushbu halqa albatta kommutativ bo‘ladi. Agar, A halqa cheksiz bo‘lsa, unda, algebrachilar uchun erkinlik yuzaga keladi.
Zamonaviy algebraik olamning noyob turlaridan bo‘lmish A-modullarni ko‘rib chiqamiz. Chapki A-modulni aniqlash uchun, birlikka ega bo‘lgan A halqa va kommutativlikka ega bo‘lgan M guruh kerak bo‘ladi. a, b  A va M(m, n  A) elementlar ustida amallar, odatiy tarzda quyidagicha aniqlanadi:
1) (ab)m=a(bm);
2) (a+b)m=am+bm;
3) a (m+n)=am+an;
4) 1m=m.
Xuddi shunday tarzda, o‘ng A-modul ham aniqlanadi; kommutativ modul, (yoki, shunchaki A-modul) bu – bir vaqtning o‘zida ham chapki va ham o‘nggi bo‘ladigan moduldir. Agar, A – maydon bo‘lsa, unda, A-modul vektor fazo deyiladi.
Agar vektor fazoning vektorlari uchun ko‘paytirish amali aniqlangan bo‘lsa, demak, unda biz «algebra»ga ega bo‘lamiz.
Keling, gapni shu joyda to‘xtataylik. Garchi, biz yuqorida keltirgan ta’rif va tushunchalar matematikada elementar oddiy tushunchalar sanalsa-da, lekin kitobxon uchun ular oddiy va tushunarli bo‘lishi qiyin…