Stiltes integrali, xossalari. Stiltes integralini hisoblash. Lebeg ma’nosida oʻlchovli funksiyalar va ularning xossalari. Lebeg integrali va uning xossalari. Riman va Lebeg integrallarini taqqoslash

1-teorema. Agar f(x) funksiya o’lchovli Ye to’plamda o’lchovli va chegaralangan bo’lsa, u holda uning Lebeg integrali mavjud.
Isboti. Chegaralangan va o’lchovli f(x) funksiya olib, uning uchun (1) kabi s_n va S_n yiQindilar tuzib ularning umumiy limitga ega bo’lishini ko’rsatamiz.
Bu funksiya chegaralangan bo’lganligi uchun uning aniq quyi va aniq yuqori chegaralari mavjud va bu qiymatlarni mos ravishda A va V orqali belgilaylik.
[A,B] segmentni ikki usulda n ta va k ta qismlarga bo’lamiz:
A = y_o < y₁ < y₂ < . . . < y_n-1 < y_n = B, (2)

A = y’_o < y’₁ < y’₂ < . . . < y’_k-1 < y’_k = B. (3)

Agar
, ,  = max{ _n ,_k }
belgilashlarni kiritsak, u holda y_ va y’_ bo’linish nuqtalari uchun
y_+1 - y_   ( = 0, 1, ... , n-1 ),
va
y’_+1 - y’_   ( = 0, 1, ... , k-1 )
tengsizliklar bir vaqtda bajariladi. Bu tengsizliklardan esa, quyidagi munosabatlar kelib chiqadi:
S_n – s_n =   = (E),
S’_k – s’_k =   = (E),
bu yerda s’_k va S’_k sonlar (yiQindilar) (3) bo’linish uchun tuzilgan quyi va yuqori yiQindilar.
Endi, (2) va (3) ko’rinishdagi bo’linish nuqtalarini, ya’ni y_ va y’_ bo’linish nuqtalarining hammasini birlashtirib, yangi bo’linish nuqtalari sifatida olamiz. Bunday bo’linishga mos s”_n+k va S”_n+k yiQindilarni tuzamiz. Natijada, s_n va s’_k yiQindilar kamaymaydi, shuningdek S_n va S’_k yiQindilar esa ortmaydi.
Demak,
s_n  s”_n+k  S”_n+k  S_n ,
(4)
s’_k  s”_n+k  S”_n+k  S’_k
tengsizliklar o’rinli bo’ladi.
Haqiqatan, agar (y_ , y_+1) oraliqni birorta, yangi  nuqta yordamida (y_ ,) va (, y_+1) oraliqlarga bo’lsak, u holda ushbu
y_ ( E_)  y_{E(y_  f < )} + {(  f < y_+1)}
tengsizlik bajariladi. Bundan ko’rinadiki, s_n  s”_n+k , ya’ni qo’shimcha bo’linish nuqtalari kiritilishi natijasida quyi yiQindi kamaymaydi.
Xuddi shuningdek, ushbu
y_+1 ( E_)  {E(y_  f < )} + y_+1{(  f < y_+1)}
tengsizlikni ham yozishimiz mumkin. Bundan ko’rinadiki, yangi nuqta kiritish natijasida S_n yiQindining mos hadi qiymati ortmas ekan, demak, S_n yuqori yiQindining o’zi ham ortmaydi.
Yuqoridagi (4) munosabatlardan ko’rinadiki, (s_n,S_n) va (s’_k,S’_k) oraliqlar (s”_n+k,S”_n+k) oraliqdan iborat umumiy qismga ega ekan. Demak, s_n ,s’_k,S_n va S’_k sonlarning hammasi uzunligi 2(E) dan katta bo’lmagan oraliqda joylashgan.
Bu yerdagi  musbat sonni istalgancha kichik qilish mumkinligi va matematik analizdagi yaqinlashish printsipidan {s_n} va {S_n} ketma-ketliklarning umumiy limitga ega ekanligi kelib chiqadi.
Demak, ta’rifga ko’ra ixtiyoriy chegaralangan o’lchovli f(x) funksiyaning Lebeg integrali har doim mavjud ekan. Teorema isbot bo’ldi.
Lebeg integralining xossalari.
Chegaralangan o’lchovli funksiyalar uchun Lebeg integrali, xuddi Riman integrali kabi quyidagi xossalarga ega.