Statistik gipotezalar. Statistik gipotezalarni tekshirish alomatlari va ularning xossalari

3 Noparametrik muvofiqlik alomatlari

Faraz qilaylik, X₁,X₂, ..., X_n lar bog‘liqsiz n ta tajriba natijasida X t.m.ning olingan kutilmalari bo‘lsin. X t.m.ning taqsimoti noma’lum F(x) funksiyadan iborat bo‘lsin. Noparametrik asosiy gipotezaga ko‘ra H₀:F(x)=F₀(x). Mana shu statistik gipotezani tekshirish talab etilsin.

1. 
   A. Kolmogorovning muvofiqlik alomati
   

X₁,X₂, ..., X_n kuzatilmalar asosida empirik taqsimot funksiyasini tuzamiz. Faraz qilamiz, F(x) uzluksiz taqsimot funksiyasi bo‘lsin. Quyidagi statistikani kiritamiz

Glivenko teoremasiga ko‘ra n yetarli katta bo‘lganda D_n kichik qiymat qabul qiladi. Demak, agar asosiy gipoteza H₀ o‘rinli bo‘lsa D_n statistika kichik bo‘lishi kerak. Kolmogorovning muvofiqlik alomati D_n statistikaning shu xossasiga asoslangandir.

Teorema(Kolmogorov). Ixtiyoriy uzluksiz F(x) taqsimot funksiyasi va λ uchun

bo‘ladi.
D_n – statistikaga asoslangan statistik alomat kritik to‘plami quyidagicha aniqlanadi
.

Bu yerdan 0<α<1 – alomatning qiymatdorlik darajasi.

Kolmogorov teoremasidan quyidagi xulosalar kelib chiqadi:

1. 
   D_n – statistikaning H₀ gipoteza to‘g‘ri bo‘lgandagi taqsimoti F(x) bog‘liq emas;
   
2. 
   Amaliy nuqtayi nazardan n ≥ 20 bo‘lgandayoq teoremadagi yaqinlashish juda yaxshi natija beradi, ya’ni ni K(λ) bilan almashtirishdan yo‘l qo‘yiladigan xatolik yetarlicha kichikdir.
   

Bu xulosalardan kelib chiqadiki, n ≥ 20 bo‘lsa kritik chegara t_α ni ga teng deb olish mumkin. Bu yerda λ_α K(λ_α) = 1- α tenglamaning ildizlaridan iborat. Haqiqatan ham berilgan 0< α <1 uchun
.
Shunday qilib, Kolmogorov alomati quyidagicha aniqlanadi:

1. 
   berilgan α orqali K(λ_α) = 1- α tenglama yechimi λ_α jadval yordamida topiladi.
   
2. 
   berilgan tajriba natijalari x₁, x₂, …, x_n larga ko‘ra t=D_n(x₁, x₂, …, x_n) qiymati hisoblanadi,
   
3. 
   va λ_α solishtiriladi, agar bo‘lsa asosiy gipoteza H₀ rad eriladi, aks holda tajriba H₀ ni tasdiqlaydi.
   

2. 
   K. Pirsonning xi–kvadrat muvofiqlik alomati
   

Amaliyotda Kolmogorov statistikasini hisoblash ancha murakkab va undan tashqari Kolmogorov alomatini qo‘llash faqat taqsimot funksiya F(x) uzluksiz bo‘lgandagina mimkindir. Shuning uchun, amaliyotda ko‘p hollarda Pirsonning xi – kvadrat alomati qo‘llaniladi. Bu alomat universal xarakterga ega bo‘lib, kuzatilmalarni guruhlash usuliga asoslangandir.

Faraz qilaylik, X – kuzatilayotgan va taqsimot funksiyasi noma’lum F(x) bo‘lgan X t.m.ning qiymatlari to‘plami bo‘lsin. X ni k ta kesishmaydigan oraliqlarga ajratamiz:
, ,

Takrorlanishlar vektori deb ataladigan vektorni olaylik. Bu vektorning – koordinatasi kuzatilmalardan tasi oraliqqa tushganligini anglatadi. Ko‘rinib turibdiki, takrorlanishlar vektori tanlanma ( ) orqali bir qiymatli aniqlanadi va . Asosiy gipoteza H₀ to‘g‘ri, bo‘lgandagi kuzatilmaning oraliqqa tushish, ehtimolligini bilan belgilaylik:

_,

Quyidagi statistikani kiritamiz

va H₀ : asosiy gipotezani to‘g‘riligini tekshiramiz.

Kuchaytirilgan katta sonlar qonuniga asosan nisbiy chastota bir ehtimollik bilan nazariy ehtimollik ga intiladi. Demak, agar H₀ gipoteza o‘rinli bo‘lsa, u holda statistikaning qiymati yetarli darajada kichik bo‘lishi kerak.Demak, Pirsonning mezoni statistikaning katta qiymatlarida asosiy gipoteza H₀ ni rad etadi, ya’ni alomatning kritik sohasi ko‘rinishda bo‘ladi. Asosiy gipoteza H₀ to‘g‘ri bo‘lganida statistikaning aniq taqsimotini hisoblash ancha murakkab, bu esa o‘z navbatida alomatning kritik chegarasi ni topishda qiyinchilik tug‘diradi. Ammo, n yetarli katta bo‘lsa H₀ gipoteza to‘g‘ri bo‘lganida statistikaning taqsimotini limit taqsimot bilan almashtirish mumkin.
Teorema(Pirson). Agar 0< <1, bo‘lsa, u holda


.

Bu yerda erkinlik darajasi k-1 bo‘lgan xi – kvadrat taqsimotiga ega bo‘lgan t.m.dir:

,
- Gamma funksiya. ■
Amaliyotda bu teorema natijasidan n≥50, , bo‘lganda foydalanish mumkin. Bu holda , tenglamadan topiladi.