Sonli to’plamlar

SONLI TO’PLAMLAR

RЕJА:

1. 
   Sonli to’plamlar: natural, butun, ratsional, irratsional va haqiqiy sonlar.
   
2. 
   Haqiqiy sonning absolyut qiymati.
   
3. 
   To’plam va ular ustida amallar.
   

Sonli to’plamlar: natural, butun, ratsional, irratsional va haqiqiy sonlar. Ma’lumki, 1,2,3,..., ,...n natural sonlar bo‘lib, ulardan tashkil topgan to‘plam [2 : 396-bet]:

N 1,2,3,..., ,... ,n _

shuningdek,   1, 2, 3,...,n,... butun sonlar bo‘lib, ulardan tashkil topgan to‘plam Z :

Z    1, 2, 3,..., n,...

bo‘ladi.

Agar son ushbu

^p  pz q, N,  p q,  1 (1) q

kasr ko‘rinishda ifodalansa (yoki son chekli o‘nli kasr hamda cheksiz o‘nli kasr ko‘rinishida bo‘lsa) u son ratsional son deyiladi. Barcha ratsional sonlardan iborat to‘plam Q bilan belgilanadi:

Q^_ ^p : p Z q N ,  , p q, 1 .^_

q 

Ikki ratsional sonlarning yg‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi va nisbati ya’na ratsional son bo‘ladi.

Agar son (1) son ko‘rinishda ifodalanmasa (yoki son cheksiz davriy bo‘lmagan o‘nli kasr ko‘rinishida bo‘lsa) u son irratsional son deyiladi.

Ravshanki, ratsional son irratsional songa teng bo‘lmaydi.

Ratsional hamdairratsional sonlar umumiy nom bilan haqiqiy sonlar deyiladi. Barcha haqiqiy sonlardan iborat to‘plam R bilan belgilanadi.

Har birhaqiqiy songa sonlar o‘qida bitta nuqta mos keladi va aksincha.

Aytaylik, _a va b haqiqiy sonlar bo‘lib, bo‘lsin. Quyidagi sonlar to‘plamlari matematikada juda ko‘p ishlatiladi[2 : 2-3-betlar]:

-segment,

- interval,

• 
  yarim interval,
  
• 
  yarim interval
  

1-misol.Ushbu

soning irratsional son bo‘lishi isbotlansin.

Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni bu ratsional son bo‘lsin:

Bu tenglikni ikki tomonini kvadratga ko‘tarib topamiz:

.

Keyingi tenglikdan

bo‘lishi kelib chiqadi. Natijada irratsional son (bu ,qaralsin, [2, 2-bet]) ratsional

songa ( bu son) teng bo‘lib qoladi. Bu ziddiyat. Uning kelib chiqishiga sabab, ni ratsional son bo‘lsin deyilishidir. Demak, irratsional son. 2-misol. Agar ratsional sonlar bo’lib

bo’lsa , bo’lishi ko’rsatilsin.

Berilgan tenglikni quyidagicha yozib olamiz;

.

Ravshanki, ikki ratsional sonning ayirmasi bo’lgani uchun ratsional son bo’ladi. Ayni paytda esa irratsional son bo’lganligi sababli, qaralayotgan tenglik faqat

yani

bo’lgandagina o’rinli bo’ladi.

3-misol. Agar to’plam 1dan 1000 gacha bo’lgan sonlar orasida 3 ga karrali bo’lganlaridan tashkil topgan to’plam bo’lsa, bu to’plamning elementlari soni topilsin.

Ma’lumki, 1 dan 1000 gacha bo’lgan sonlar orasida 3ga karrali bo’lgan sonlar

birinchi hadi , ayirmasi hamda oxirgi hadi bo’lgan arifmetik progressiyani tashkil etadi. Unda

fo’rmulagako’ra

bo’lib , bo’lishi kelib chiqadi. Demak, to‘plamning elementlari soni 333 ta bo‘ladi.