Sonli ketma ketlik va uning xossalari. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari. Reja

Sonli ketma ketlik va uning xossalari.

Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari.

Reja

1. 
   Sonlar ketma-ketligi tushunchasi.
   
2. 
   Sonlar ketma-ketligining limiti.
   
3. 
   Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning chegaralanganligi.
   
4. 
   Tengsizliklarda limitga o‘tish.
   
5. 
   Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar ustida amallar.
   
6. 
   Cheksiz kichik hamda cheksiz katta miqdorlar.
   

1. Sonlar ketma-ketligi tushunchasi. Biz birinchi bobda ixtiyoriy E to‘plamni F to‘plamga akslantirish: f : E  F

tushunchasi bilan tanishgan edik.

Endi E _ N , F _ R deb, har bir natural n songa biror haqiqiy x_n sonini mos qo‘yuvchi f : n  x_n , ( n 1, 2,3,...) (1)

akslantirishni qaraymiz.

1-ta’rif. 1- akslantirishning akslaridan iborat ushbu

x₁ , x₂ , x₃ , ..., x_n , ... (2)

to‘plam sonlar ketma-ketligi deyiladi. Uni { x_n} yoki x_n kabi belgilanadi. x n ( n 1, 2,3,...) sonlar (2) ketma-ketlikning hadlari deyiladi. Masalan, x_n  ( 1) ⁿ :  1, 1,  1, ..., ( 1) ⁿ ,... x_n  1: 1, 1, 1, ..., 1,... x_n 0, 3; 0, 33; 0, 333;...; 0, 333...3; ... lar sonlar ketma-ketliklaridir.

Biror { x_n} ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.

2-ta’rif. [1, p.130, def. 6.1.16] Agar shunday o‘zgarmas M soni mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy x_n ( n 1, 2,3,...) uchun x_n  M tengsizlik bajarilsa (ya’ni  M, n  N : x_n  M bo‘lsa), { x_n} ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan deyiladi.

3-ta’rif. Agar shunday o‘zgarmas m soni mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy x_n ( n1, 2,3,...) uchun x_n  m tengsizlik bajarilsa (ya’ni,m,nN:x_nm bo‘lsa), {x_n} ketma-ketlik quyidan chegaralangan deyiladi.

4-ta’rif. Agar{ x_n} ketma-ketlik ham yuqoridan,ham quyidan chegaralangan bo‘lsa (ya’ni m,M,nN:mxnM bo‘lsa),{x_n} ketma-ketlik chegaralangan deyiladi.

1-misol. Ushbu

n

x_n  4  2 n 1,2,3,.... _n ketma-ketlikning chegaralanganligi isbotlansin.

◄ Ravshanki, n  N uchun n

x_n  4  2  0

_n

bo‘ladi. Demak, qaralayotgan ketma-ketlik quyidan chegaralan-gan.

0  ( n  2) ²  n ²  4n  4

bo‘lib, undan 4n  4  n² ya’ni,

n 1

²  4 4  n

bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa berilgan ketma-ketlikningyuqoridan chegaralanganligini bildiradi. Demak, ketma-ketlik chegaralangan ►

5-ta’rif. Agar { x_n} ketma-ketlik uchun

M  R,  n0  N : xn₀  M bo‘lsa, ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan deyiladi.

2. Sonlar ketma-ketligining limiti.

Aytaylik, a  R son hamda ixtiyoriy musbat  son berilgan bo‘lsin.

6-ta’rif. Ushbu

U _ ( a )  {x  R: a    x  a   }  ( a   , a   )

to‘plam a nuqtaning  - atrofi deyiladi.

Faraz qilaylik { x_n} ketma-ketlik va a  R soni berilgan bo‘lsin.

7-ta’rif. [2,p.68, def. 3.5] Agar ixtiyoriy   0 son olinganda ham shunday n0 natural soni mavjud bo‘lsaki, n  n0 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha natural sonlar uchun

xn  a 		(3)
tengsizlik bajarilsa, (ya’ni
  0, n0  N , n  n0 : | xn  a | 
bo‘lsa), a son { xn} ketma-ketlikning limiti deyiladi va

a  lim xn yoki n  da x_n  a

n kabi belgilanadi.

Ravshanki, yuqoridagi (3) tengsizlik uchun

| xn  a |   a    xn  a  

ya’ni, x_n U _ ( a ), ( n  n0 ) bo‘ladi. Shuni e’tiborga olib, ketma-ketlikning limitini quyidagicha ta’riflasa bo‘ladi.

8-ta’rif. [1, p.128, def.6.1.5] Agar a nuqtaning ixtiyoriy U _ ( a) atrofi olinganda ham { x_n} ketma-ketlikning biror hadidan keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli bo‘lsa, a son { x_n} ketma-ketlikning limiti deyiladi.

Yuqorida keltirilgan ta’riflardan ko‘rinadiki  ixtiyoriy musbat son bo‘lib, natural n0 bo‘lib, natural n0 soni esa ga va qaralayotgan ketma-ketlikka bog‘liq ravishda topiladi.

2-misol. Ushbu

x_n  c (c  R, n 1, 2,3,...) ketma-ketlikning limiti c ga teng bo‘ladi.

◄Haqiqatan ham, bu holda    0 ga ko‘ra n0 1 deyilsa, unda n  n0 uchun x c  0  bo‘ladi. Demak, ^limx_n  ^lim_nc c

_n

3-misol. Ushbu

1

x_n  , (n 1, 2,3,....) n

ketma-ketlikning limiti 0 ga teng bo‘lishi isbotlansin:

1

lim  0 . nn

Ravshanki,

1 1  0 n n

1 1

bo‘lib,    0 tengsizlik barchan  bo‘lganda o‘rinli. Bu holda n 

n0  _{ } _¹ 1

deyilsa, ([ a ]  a sonidan katta bo‘lmagan uning butun qismi), unda n  n0 uchun

1

 0  n

bo‘ladi. Ta’rifga binoan

1

lim  0. ► nn

4-misol. Aytaylik, a  R, a 1 bo‘lsin. U holda 1

limn an  0

bo‘lishi isbotlansin. a  1   deylik. Unda   a  1  0 va Bernulli tengsizligiga ko‘ra

(1   ) ⁿ  1  n  n bo‘lib, n  N da

1 1

 _n

a n

bo’ladi. Demak,

1 1

 ⁰    0 a_{n a}n

tengsizlik barcha

1

n 



bo‘lganda o‘rinli. Agar

n0 __ 1 _1

deyilsa, ravshanki, n  n₀ uchun

1_n  0  a

bo'ladi. Demak,

1

limn an  0

n

5-misol. Ushbu x_n  n 1,2,3,... ketma-ketlikning limiti 1 ga teng n 1

bo‘lishi isbotlansin.

◄ Ixtiyoriy   0 son olamiz. So‘ng ushbu

x_n  1 

tengsizlikni qaraymiz. Ravshanki,

n 1

x_n  1  1 n1 n1

Unda yuqoridagi tengsizlik

1

 n 1

ko‘rinishga keladi. Keyingi tengsizlikdan

1

n  1



bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, limit ta’rifidagi n0  N sifatida n₀ ^__ 1 1^_1olinsa

(  0 ga ko‘ra n0  N topilib), n  n0 uchun x_n  1   bo‘ladi. Bu esa n

lim 1 nn 1

bo‘lishini bildiradi.►

6-misol. Faraz qilaylik, a  R, a 1 va  R bo‘lsin. U holda n

lim an  0 _n

bo‘lishi isbotlansin.

1

Shunday natural k sonini olamizki k  1 bo’lsin. Endi a k 1 bo’lishini

11

e’tiborga olib, a k  1 , ya’ni  a k  1 0 deymiz. Unda Bernulli tengsizligiga ko‘ra

n

a k  1 _ⁿ   1 n n

bo‘lib,  n  N da

nk1 1

 an nk

bo‘ladi. Bu holda

n0  1k 1  0

deyilsa,  n  n₀ uchun

n n nk1 n  0 n  n  a a n

bo‘ladi. Demak,

n

lim an  0 _n

7-misol. Ushbu

lgn

lim  0

n n

tenglik isbotlansin.

Ravshanki,    0 va  n  N uchun

lgn ^n n 1

0    lgn n  10  _n  n 10^

bo‘ladi. Agar 10^ 1 bo‘lishini e’tiborga olsak, 6-misolga ko‘ra n

n da n  0

10^

ekanini topamiz. Unda ta’rifga ko‘ra 1 soni uchun

n

   n N n n₀ , ₀ ^: _n 1

10^

lgn lgn

bo‘ladi. SHunday qilib,  n  n₀ uchun  bo’ladi. Demak, lim  0 .

n n n

8-misol. Ushbu

x_n   1ⁿ n1,2,3...

ketma -ketlikning limiti mavjud emasligi isbotlansin.

Teskarisini faraz qilaylik. Bu ketma-ketlik a limitga ega bo‘lsin.

Unda ta’rifga binoan,

  0, n  N , n  n : | ( 1) ⁿ  a | 

bo‘ladi.

Ravshanki, n juft bo‘lganda 1 a , n toq bo’lganda   1 a , ya’ni 1 a  bo’ladi. Bu tengsizliklardan foydalanib topamiz:

| (1  a )  (1  a ) ||1  a |  |1  a | 2 .

Bu tengsizlik  1 bo‘lgandagina o‘rinli. Bunday vaziyat   0 sonining ixtiyoriy bo‘lishiga zid. Demak, ketma-ketlik limitga ega emas. ►

Teorema. [1, p.128, prop. 6.1.7] Agar x_n ketma-ketlik limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi.

Teskarisini faraz qilaylik.x_nketma-ketlik ikkita a va b a  blimitlarga ega bo‘lsin:

lim x  a, lim x  b ( a  b)

n  n n n

Limitning ta’rifiga ko‘ra

  0, n0  N , n  n0 : | x_n  a | ,   0, n₀ ' N , n  n₀ : | x_n  b |  bo‘ladi.

Agar n₀ va n₀^' sonlarining kattasini n desak unda  n n da

x a_n  , x b_n  

bo’lib

x a_n    x b_n 2

bo'ladi.

Ravshanki, a  b  a  x_n  x_n  b  x_n  a  x_n  b .

Demak,    0 da a  b  2bo‘lib, undan a  b bo‘lishi kelib chiqadi. ►