Sonli ketma-ketlik va uning limiti

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
1. Umumiy hadi bo’lgan sonli ketma-ketlikning dastlabki 5 ta hadi yozilsin.
Yechish: Umumiy haddagi n o’rniga ketma-ket 1,2,3,4,5 sonlarini qo’yamiz:
= = ; = = ;
= = ; = ;
= .
Demak, ning dastlabki 5 ta hadlari 1, 0, , 0, lardan iborat.
2. Dastlabki bir nechta hadlari bilan berilgan , ketma-ketlikning umumiy hadi yozilsin:
Yechish: Berilgan ketma-ketlikning har bir hadini surati shu hadning nomerini bildiruvchi raqamning kvadrati bilan 1 soni yig’indisidan iborat ekanligini ko’ramiz. Ya’ni u n²+1 ga teng. Ketma-ketlik hadlarining maxrajlari ayirmasi 5 ga va birinchi hadi 3 ga teng bo’lgan arifmetik progressiya hadlaridan iborat. Ya’ni:

Demak, = .
3. Ketma-ketlikning ta’rifidan foydalanib,

bo’lishini isbotlang.
Yechish: son uchun shunday N( ning mavjudligini ko’rsatishimiz kerakki, har qanday n>N( uchun < tengsizlik bajarilishi kerak. Buning uchun ni aniqlashimiz kerak.
= = = .
Bundan esa tengsizlik kelib chiqadi. Undan n> ni yoki N=E( ) ni aniqlaymiz. Shunday qilib, ixtiyoriy son uchun shunday N topiladiki n>N tengsizlikdan < tengsizlik kelib chiqadi. Bu esa = 1 ekanligini bildiradi.
4. x₁=1, x₂=2, bo’lib n>2 bo’lganda x_n=x_n-1 – x_n-2 bo’ladi.Bu ketma-ketlikning dastlabki bir nechta hadlari yozilsin.
Yechish: x₃=x₂ – x₁=2-1=1; x₄=x₃ – x₂=1-2=-1; x₅=x₄ – x₃ =-1-1=-2;
x₆=x₅ – x₄=-2-(-1)=-2+1=-1; x₇=x₆ – x₅=-1-(-2)=-1+2=1 va hokazo.
Demak, izlanayotgan ketma-ketlik
1; 2; 1; -1; -2; -1; 1; ….
dan iborat.
5. -1, , - …, ,… ketma-ketlikning chegaralangan ekanligi isbotlansin.
Isbot: = = 1
Demak, ketma-ketlik chegaralangan.
6. Umumiy hadi a_n bo’lgan sonlar ketma-ketligi kamayuvchi ketma-ketlik ekanligi isbotlansin.
Isbot: a_n= ,n=1, 2, 3, …,y holda a_n+1= bo’lib, a_n+1-a_n <0 bo’ladi. Bundan a_n+1-a_n >0 va ixtiyoriy nomer uchun x_n+1 < x_n bo’ladi.
Bu esa berilgan ketma-ketlikning kamayuvchi ekanligini bildiradi.

Yechish: Agar biz bu yerda limitlar haqidagi teoremalarni qo’llasak, va = bo’lib berilgan ifoda ko’rinishdagi aniqmaslikdan iborat bo’ladi. Shuning uchun berilgan ifodada ayniy almashtirish bajaramiz. Natijada
= = = = hosil bo’ladi. Unga ko’paytma, bo’linma va yig’indining limiti haqidagi teoremalarni qo’llab quyidagiga ega bo’lamiz:
.
8. - ) hisoblansin.
Yechish: = va = bo’lgani uchun berilgan ifoda shakldagi aniqmaslikdir. Bu ifodada ayniy almashtirishlar qilamiz. Buning uchun berilgan ifodani unga qo’shma ifodaga ko’paytiramiz va bo’lamiz:
- = = =
+ )= bo’lgani uchun
- )=
9. - ) ni hisoblang.
Yechish: Yuqoridagi misolda - )=0 ekanligini topdik. bo’lgani uchun berilgan ifoda 0 ko’rinishdagi aniqmaslikdir. Uni ochish uchun ayniy almashtirish qilamiz.
- )= = = ;
- ) = = =1.
10. ni hisoblang.
Yechish: Agar limitlar haqidagi teoremalarni qo’llasak yana aniqmaslikka duch kelamiz. Shuning uchun bu yerda ham ayniy almashtirishlar qilamiz. Ya’ni kasrning surat va maxrajidan n³ ni qavsdan tashqariga chiqaramiz.
= .
11. ni hisoblang.
Yechish: Berilgan limitni hisoblash uchun almashtirish qilamiz. Bunda va bo’ladi. Demak,
.
12. ni hisoblang.
Yechish: 
.