Sonli ketma-ketlik haqida tushuncha. Ta’rif

Geometrik progressiyaning n-hadi formulasi.
GPning birinchi hadi b₁ va maxraji q berilganda, uning qolgan hadlarini, GPning ta’rifidan foydalanib toppish mumkin:
b₂=b₁q
b₃=b₂q=b₁q²
b₄=b₃q=b₁q³
b₅=b₄q=b₁q⁴
…
…
b_n=b₁q^n-1
Demak GPda b₁ va q berilganda uning ixtiyoriy hadini b_n=b₁q^n-1 formuladan foydalanib toppish mumkin ekan.


b_n=b₁q^n-1 GPning n-hadini toppish formulasi d-di.

Bu formulada to’rtta kattalik b₁,q,b_n va n lar ishtirok etayapti, ulardan ixtiyoriy uchtasi berilganda

Teorema: GPning dastlabki n ta hadining yig’indisi ushbu formula bilan hisoblanadi.
, bunda q≠1.
Agar q=1 bo’lsa, S_n=b₁∙n formula bilan hosoblanadi.
Isbot: S_n= b₁+ b₂+ b₃+…+b_n-1+ b_n (*)
Tenglikni q ga ko’paytiramiz,
q∙S_n=b₂+b₃+b₄+…+b_n+b_n∙q (**)
(*)-(**)=S_n-S_n∙q=b₁-b_n∙q
(1-q)S_n= b₁-b_n∙q
. Isbot tugadi.
1-Eslatma: GPning dastlabki n ta hadi yig’indisidagi b_n ning o’rniga b_n=b₁∙q^n-1 formulani quysak quyidagicha S_n ni toppish formulasi kelib chiqadi:
S_n=
S_n=
1-misol: Agar GPda b₁=3, q= bo’lsa S₇ ni toping
S₇=

=5 J: 5

2-misol: 6, 2, , … GPning dastlabki 5 ta hadi yig’indisini toping.
Yechish: b₁=6, q=
S₅=
J: 8
3-misol: Maxraji q= GPda S₆=252 bo’lsa b₁ ni toping
Yechish: S₆= b₁= J: b₁=128
4-misol: GPda S_n=-93, b₁=-3, q=2 n-?
Yechish: S_n= ;
-93= ; 2ⁿ-1=31 ; n=5 J: n=5

APning ayirmasi ixtiyoriy haqiqiy son bo;lishi mumkin, ya’ni d (-∞;∞) bo’ladi. Masalan: 1) 1,4,7,10,..; d=3 2) 8,6,4,2,0,-2,-4,-6,…; d=-2 3) 3,3+ ,3+2 ,3+3 ,3+4 ,…; d= 4) 5,5,5,5,5,…; d=0 5) -3,-2,-1,0,1,2,3,…; d=1 Eslatma: Biror ketma-ketlik AP tashkil etishi uchun, uning ixtiyoriy ketma-ket hadlarining ayirmasi o’zgarmas son bo’lishi kerak. Ya’ni n ga bog’liq bo’lmasligi kerak. Masalan: 1)an=7n+2 ketma-ketlik AP tashkil etadimi? an=7n+2, an+1=7(n+1)+2; an+1-an=7(n+1)+2-7n-2=7 demak ayirma n ga bog’liq bo’lmadi. Javob: AP tashkil etadi. 2) an=2^n+5 ketma-ketlik AP tashkil etadimi? Yechish: an=2^n+5, an+1=2^n+1+5 an+1-an=(2^n+1+5)-(2^n+5)=2^n natija n ga bog’liq, demak AP tashkil etmaydi. Javob: AP tashkil etmaydi. 3) xn=3n+4 ketma-ketlik AP tashkil etsa uning ayirmasini toping? Yechish: xn+1=3(n+1)+4=3n+7 d=xn+1-xn=3n+7-(3n+4)=3. Javob: d=3