Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

a
x
x
x
              
 
   
 
            
 
                
 
 
             
 
              
 
             
 
                   
Bundan
                    
 
              
 
          
 
    . Buni 3-tenglamaga 
qo`ysak, 
          
 
                 
 
                             
    
 
                     
 
                
Bunda 
            va demak, taqqoslama yechimga ega bo‘lishi uchun 
                 bajarilishi kerak. Bundan                     
          ya`ni                    ko‘rinishda bo‘lishi kerak   ekanligi kelib 
chiqadi. 
Izoh.  Masalaning  shartida  a    ning  qanday  qiymatida  bеrilgan  taqqoslamalar 
sistemasi yеchimga ega, deb so‘ralgan,(ya‘ni sistemaning barcha yechimlarini topish 
so‘ralmagan) shuning uchun ham 
  ning so‘ralgan qiymatini topdik. 
2) 
   ning    izlanayotgan  qiymatini  aniqlash  uchun  sistemani  yechishga  harakat 
qilamiz. Bunda 1 – misolda tanlangan usuldan foydalanishimiz mumkin. 
{
            
            
             
             
 
   
 
      
Bundan 
            
 
               
 
                
 
                 
 
 
                 
 
        
 
   
 
                                
 
        
   
 
   
 
             
 
               
 
                   
 
     
         
         
 
              
 
                                     
 
                
  (            
 
)                         
 
   
 
      Demak,  berilgan  sistema 
    ning ixtiyoriy       qiymatlarida yechimga ega. 
3).
                            
 
         
 
                 
 
 
                
 
              Bunda            
                       
 
          Shuning uchun ham berilgan sistema  ning birorta 
ham qiymatida yechimga ega emas. 
4).
            
 
                    
 
                 
 
 
                 
 
                
 
             
 
    
 
        
 
   
 
 
                         
 
            
 
   
 
       
3-taqqoslamadan
         
 
                
 
                    
 
 
                                  
 
                                    
                          
 
                     ⋮     
 
     ,  ya‘ni          
              yoki  bundan                 ning  bajarilishi  kerak  ekanligi  kelib 

---

 
 
168 
 
chiqadi.  Shunday  qilib
                       ko‘rinishda  bo‘lsa,  berilgan  sistema 
yechimga ega bo‘lar ekan. 
                                  
 
   
 
           ning  bu  qiymatini  ikkinchi 
taqqoslamaga 
qo‘yib, 
 
  
ni 
aniqlaymiz: 
        
 
            
 
    
 
 
               
 
           , ya‘ni  
 
         
 
   
 
     Bu holda         
          
 
            
 
   
 
      Buni 3-taqqoslamaga qo‘yib,  
 
 ni aniqlashga 
harakat 
qilamiz. 
          
 
                 
 
                 
               
 
                      
 
                
Bunda 
       
                     
      
 
                   ⋮                     ) 
bajarilishi  kerak  ekan.  Demak,  agar 
                   ko‘rinishda  bo‘lsa,  berilgan 
taqqoslamalar sistemasi yechimga ega bo‘ladi. 
6). 
           
 
   
 
                                  
 
      
 
   
                    
 
                  
 
                 
 
 
             
 
               
 
                  
 
        
 
   
 
     
Bu 
holda
                  
 
             
 
   
 
         ning  bu  qiymatini  3-taqqos-
lamaga  qo‘yib   
 
 
  ni  aniqlaymiz. 
         
 
               
 
     
              Bunda              bo‘lgani  uchun    ning  ixtiyoriy  butun  qiymatida 
berilgan  taqqoslama    yagona  yechimga  ega  va  demak,    berilgan  taqqoslamalar 
sistemasi ham 
  ixtiyoriy butun qiymatida yechimga ega. 
7).
             
 
          
 
               
 
              
 
 
             
 
          ,  
 
    Ya`ni 
 
        
 
    
 
      Buni  inobatga 
olsak 
                  
 
   
         
 
                                               
 
                   
    
 
                 
 
                  Bunda               va  taqqoslama,  
yechimga ega bo‘lishi uchun 
       ⋮          ya`ni                 Yoki bundan 
              shartni  qanoatlantirishi  kerak.  Demak,  agar                    
ko‘rinishidagi butun son bo‘lsa, berilgan taqqoslamaa yechimga ega bo‘ladi. 
8). 
          
 
   
 
                                  
 
    
  
   
                   
 
               
 
                
 
 
              
 
                   
 
         
 
   
 
     Buni   ning 
ifodasiga olib borib qo‘ysak 
                   
 
             
 
   
 
         
   
 
           –  
 
                  
 
                     ning bu 
qiymatini 3-taqqoslamaga qo‘yib,  
 
 
 ni aniqlaymiz: 
         
 
             
–  
 
                  
 
                   Demak,  
 
               
 
 
 
 
                                       
 
                     
    
 
   
 
      
                                                                  

---

 
 
169 
 
                            . 
9).
    ning    izlanayotgan  qiymatini  aniqlash  uchun  sistemani  yechishga  harakat 
qilamiz.  Bunda  1-misolda  tanlangan  usuldan  foydalanishimiz  mumkin.  1-
taqqoslamadan 
          
 
   
 
        ning  bu  qiymatini  2-taqqoslamaga  olib  borib 
qo‘yib 
 
 
 ni aniqlaymiz:
  
      
 
               
 
              
 
              
 
   
 
      
  
 
   
 
       
Buni 
  ning ifodasiga olib borib qo`yib,                  
 
            
 
   
 
 
  ga ega bo‘lamiz.  ning bu qiymatini 3-taqqoslamaga qo‘yib   
 
ni aniqlaymiz: 
        
 
                 
 
                      
 
      
              
 
                     Demak,     ning  ixtiyoriy  butun  qiymatida 
berilgan taqqoslamalar sistemasi yechimga ega. 
10).  1-taqqoslamadan 
            
 
   
 
        ning  bu  qiymatini                2-
taqqoslamaga olib borib qo‘yib, 
 
 
 ni aniqlaymiz:
        
 
                 
 
 
                
 
                 
 
                 
 
 
              
 
                 
 
           
 
   
 
     Buni 
  
ning 
ifodasiga olib borib qo`yib, 
                     
 
               
 
   
 
     ga 
ega bo‘lamiz. 
 ning bu qiymatini 3-taqqoslamaga qo‘yib   
 
ni aniqlaymiz: 
           
 
               
 
                
Bunda 
             
Demak,  taqqoslama  yechimga  ega  bo‘lishi  uchun   
       ⋮                       
bo‘lishi  kerak.  Bundan 
                ya
'
ni
                Demak,  agar     
          ko
'
rinishda bo‘lsa, berilgan sistema yechimga ega bo‘ladi . 
 
11). 
  ning  izlanayotgan qiymatini aniqlash uchun sistemani yechishga harakat 
qilamiz.  Bunda  1  –  misolda  tanlangan  usuldan  foydalanishimiz  mumkin.1-
taqqoslamadan 
           
 
   
 
       ning bu qiymatini 2-taqqoslamaga olib borib 
qo‘yib, 
 
 
  ni  aniqlaymiz:
       
 
               
 
                 
 
 
           
 
              
 
         
 
   
 
     Buni     ning  ifodasiga  olib 
borib  qo`yib 
                  
 
             
 
   
 
      ga  ega  bo‘lamiz.   ning 
bu  qiymatini  3-taqqoslamaga  qo‘yib,   
 
 
ni  aniqlaymiz:
         
 
           
  
 
                   
 
                Bunda               Demak     ning 
ixtiyoriy  butun  qiymatida  berilgan  taqqoslamalar  sistemasi  yechimga  ega.
       
 
 
                     
 
                     
    1). Buning uchun berilgan to‘g‘ri chiziqning kesishish nuqtasini topish kerak. 
Bu tenglamalarni taqqoslama ko‘rinishda yozib olib, uning yechimini topamiz. 
{
            
            
             
            
 
   
 
     Buni  2-taqqoslamaga olib borib qo‘yib, 
 
 
 
ni 
aniqlaymiz:
       
 
               
 
                
 
       

---

 
 
170 
 
 ∙              
 
                 
 
               
 
    
 
        
 
   
 
 
    
 
ning bu  ifodasini 
  ning ifodasiga olib borib qo‘ysak                 
 
 =    
   
 
, 
 
 
     hosil  bo‘ladi.   ning  bu  qiymatini  3-taqqoslamaga  qo‘yib,     
 
  ni 
aniqlaymiz: 
        
 
                 
 
               
 
                
 
 
        
 
   
 
     Buni     ning  ifodasidagi   
 
  ning  o‘rniga  olib  borib  qo‘ysak, 
                    
 
              
 
   
 
     hosil  bo‘ladi.  Demak,  absitssasi 
                
 
   
 
    nuqtadan     o‘qiga chiqarilgan perpendikulyar  berilgan 
chiziqlarni  butun  koordinatali  nuqtalarda  kesadi.  Bu  nuqtalarni  ordinatalarini  to‘g‘ri 
chiziq tenglamasidan topamiz. Birinchit tenglamadan 
          
 
                          
 
               
 
  
Ikkinchi 
tenglamadan 
          
 
        →          
 
                   
 
  
Uchinchi 
tenglamadan 
          
 
                      
 
                    
 
   Shunday 
qilib 
bu 
nuqtalarning 
koordinatalari 
           
 
           
 
         
    
 
          
 
              
 
         
 
      
 
     
2).Buning  uchun  berilgan  to‘g‘ri  chiziqning  kesisish  nuqtasini  topish  kerak.  Bu 
tenglamalarni taqqoslama ko‘rinishda yozib olib uning yechimini topamiz. 
{
             
              
               
  {
            
            
             
   Endi  bu  sistemani  yechamiz. 
Sistemaning  1-taqqoslamasidan
            
 
   
 
      Buni    2-taqqoslamaga  olib 
borib qo‘yib 
 
 
 ni aniqlaymiz:
       
 
               
 
                 
 
 
             
 
              
 
              
 
        
 
   
 
      
 
 
ning 
topilgan  qiymatini
    ning  ifodasiga  olib  borib  qo`ysak,                    
 
 =    
   
 
,
 
 
    hosil bo‘ladi.  ning bu qiymatini                                3-taqqoslamaga 
qo‘yib,   
 
 
ni  aniqlaymiz: 
        
 
                
 
               
 
 
                
 
                   
 
         
 
   
 
     
Buni 
  
ning 
ifodasidagi 
 
 
  ning  o‘rniga  olib  borib  qo'ysak, 
                   
 
        
          
 
            
 
    
 
                                               
 
  
Demak,  absitssasi
               
 
    
 
     nuqtadan        o‘qiga  chiqarilgan 
perpendikulyar  berilgan chiziqlarni butun koordinatali nuqtalarda kesadi. 
3)  Buning uchun berilgan to‘g‘ri chiziqning kesishish nuqtasini topish kerak. Bu 
tenglamalarni taqqoslama ko‘rinishda yozib olib, uning yechimini topamiz. 

---

 
 
171 
 
{
             
             
             
  {
            
            
            
  Endi bu sistemani yechamiz. Sistemaning 1-
taqqoslamasidan
            
 
   
 
     Buni 2-taqqoslamaga olib borib qo‘yib  
 
 ni 
aniqlaymiz:
       
 
               
 
                
 
            
  
 
              
 
              
 
        
 
   
 
      
 
 ning topilgan 
qiymatini
   ning ifodasiga olib borib qo`ysak                  
 
        
   
 
   
 
    hosil bo‘ladi.  ning bu qiymatini 3-taqqoslamaga qo‘yib   
 
ni 
aniqlaymiz:
  
        
 
               
 
                
 
              
 
     
  
 
   
 
       Buni     ning  ifodasidagi   
 
  ning  o‘rniga  olib  borib  qo'ysak 
        
         
 
             
 
                             
             
 
    
 
      Demak  abtsitsalari  o‘qining               
 
   
 
 
   nuqtadan        o‘qiga  chiqarilgan  perpendikulyar    berilgan  chiziqlarni  butun 
koordinatali nuqtalarda kesadi. 
4).
{
            
            
             
  {
            
            
            
  Endi bu sistemani yechamiz. Sistemaning 
1-taqqoslamasidan 
          
 
   
 
      Buni  2-taqqoslamaga olib borib qo‘yib  
 
 ni 
aniqlaymiz:
       
 
               
 
              
 
          , ya‘ni 
 
 
        
 
   
 
      
 
  ning  topilgan  qiymatini 
   ning  ifodasiga  olib  borib 
qo`ysak
                   
 
            
 
   
 
    hosil bo‘ladi.   ning bu qiymatini 
3-taqqoslamaga  qo‘yib,   
 
 
ni  aniqlaymiz: 
        
 
                   
 
 
          Bu taqqoslamani qanoatlantiruvchi  
 
 qiymatlari mavjud emas va demak, 
masalaning shartini qanoatlantiruvchi nuqtalar ham mavjud emas. 
Izoh: Bunday nuqtalarning mavjud emasligini
                             
taqqoslamaning bir vaqtda bajarilmasligi bilan ham asoslash mumkin. 
 
5).
{
             
            
             
  {
             
            
             
   Endi  bu  sistemani  yechamiz. 
Sistemaning  1-taqqoslamasidan 
          
 
   
 
       Buni    2-taqqoslamaga  olib 
borib  qo‘yib 
 
 
  ni  aniqlaymiz:
       
 
               
 
              
 
 
            
 
        
 
   
 
      
 
  ning  topilgan  qiymatini
   ning  ifodasiga  olib 
borib  qoysak 
                 
 
           
 
   
 
     hosil  bo‘ladi.     ning  bu 
qiymatini 3-taqqoslamaga qo‘yib,  
 
 
ni aniqlaymiz: 
       
 
                
 
 
               
 
                
 
               
 
         
 
   
 
 
                                                
 
             
 
   
 
      Demak, 

---

 
 
172 
 
abtsitsalari  o‘qining 
             
 
    
 
     nuqtasidan        o‘qiga  chiqarilgan 
perpendikulyar  berilgan chiziqlarni butun koordinatali nuqtalarda kesadi. 
 
6).
{
              
               
                
  {
            
             
             
  Endi bu sistemani yechamiz. 
Sistemaning 1-taqqoslamasidan
          
 
   
 
     Buni  2-taqqoslamaga olib borib 
qo‘yib 
 
 
 ni aniqlaymiz: 
      
 
                
 
                 
 
                
 
 
              
 
          
 
   
 
      
 
 ning topilgan qiymatini
   ning ifodasiga 
olib borib qo`ysak, 
                  
 
            
 
   
 
    hosil bo‘ladi.   ning bu qiymatini 3-
taqqoslamaga qo‘yib  
 
 
ni aniqlaymiz:
        
 
                
 
 
               
 
                
 
          
 
   
 
     Buni   ning 
ifodasiga qo‘yib,  
                    
 
              
 
   
 
     ga ega 
bo‘lamiz. Demak, abtsitsalari o‘qining 
              
 
   
 
     nuqtasidan     
o‘qiga chiqarilgan perpendikulyar  berilgan chiziqlarni butun koordinatali nuqtalarda 
kesadi. 
7).
{
             
             
                
  {
            
            
             
   
Endi  bu  sistemani  yechamiz.  Sistemaning  1-taqqoslamasidan
           
 
   
 
     
Buni  2-taqqoslamaga olib borib qo‘yib 
 
 
 ni aniqlaymiz: 
       
 
               
 
              
 
              
 
    
 
   
 
 
    
 
 ning topilgan qiymatini
    ning ifodasiga olib borib qo`ysak,            
 
   
 
 
   hosil  bo‘ladi.     ning  bu  qiymatini                                  3-taqqoslamaga  qo‘yib     
 
ni 
aniqlaymiz: 
        
 
                
 
                
 
        
 
    
 
 
    Buni     ning  ifodasiga  qo‘yib,                    
 
              
 
   
 
     ga 
ega  bo‘lamiz.  Demak,  abtsitsalari  o‘qining
               
 
   
 
     nuqtasidan      
o‘qiga chiqarilgan perpendikulyar  berilgan chiziqlarni butun koordinatali nuqtalarda 
kesadi. 
 
8).
{
              
            
            
  {
            
            
            
   Endi bu sistemani  
yechamiz.  Sistemaning  1-taqqoslamasidan
           
 
   
 
      Buni    2-
taqqoslamaga  olib  borib  qo‘yib, 
 
 
  ni  aniqlaymiz:
       
 
               
 
 
            
 
              
 
        
 
     
 
      
 
  ning  topilgan  qiymatini
  
ning ifodasiga olib borib qo`ysak
  

---

 
 
173 
 
                 
 
            
 
     
 
   hosil  bo‘ladi.    ning  bu  qiymatini  3-
taqqoslamaga 
qo‘yib, 
 
 
 
ni 
aniqlaymiz:
        
 
               
 
 
             
 
                 
 
           
 
   
 
      Buni     ning  ifodasiga 
qo‘yib
                    
 
              
 
   
 
   ga  ega  bo‘lamiz.  Demak, 
abtsitsalari  o‘qining 
              
 
   
 
     nuqtasidan        o‘qiga  chiqarilgan 
perpendikulyar  berilgan chiziqlarni butun koordinatali nuqtalarda kesadi. 
 
9).
{
               
               
              
   {
             
             
            
 Endi bu sistemani  
yechamiz.  Sistemaning  1-taqqoslamasidan
            
 
   
 
      Buni    2-
taqqoslamaga olib borib qo‘yib, 
 
 
 ni aniqlaymiz:
       
 
           
     
 
               
 
               
 
     
 
    
 
      
 
  ning  topilgan 
qiymatini
  ning ifodasiga olib borib qo`ysak,             
 
    
 
    hosil bo‘ladi.   
ning  bu  qiymatini  3-taqqoslamaga  qo‘yib   
 
 
ni  aniqlaymiz: 
        
 
 
                          
 
                
 
               
 
 
            
 
        
 
   
 
     Buni     ning  ifodasiga  qo‘yib,              
       
 
               
 
   
 
     ga  ega  bo‘lamiz.  Demak,  abtsitsalari  o‘qining 
               
 
   
 
     nuqtasidan        o‘qiga  chiqarilgan  perpendikulyar  
berilgan chiziqlarni butun koordinatali nuqtalarda kesadi. 
10).
{
             
               
                
   {
             
             
             
  Bu sistema ziddiyatli sistema. 
Shuning uchun ham bu holda masala shartini qanoatlantiruvchi nuqtalar yo‘q (4-
masaladan keying izohni   qarang). 
11). Buning uchun 










