Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

 
267.  1).  Birinchi  taqqoslamani 
           
 
   
 
   tenglik ko`rinishida yozib 
olib,  2-taqqoslamadagi 
   ning  joyiga  olib  borib  qo`yamiz  va   
 
  ga  nisbatan 
yechamiz:
       
 
                  
 
            .  Bunda                va 
   ⋮   bo`lgani  uchun  taqqoslamani  3  ga  qisqartirib,      
 
            ni  hosil 
qilamiz. 
Bundan
   
 
                        
 
               
 
        ,    
ya`ni 
 
 
        
 
      
 
        
 
 ning bu ifodasini
            
 
   ga qo`ysak, 
       
         
 
             
 
   
 
   hosil bo‘ladi. Endi   ning ifodasini 3-taqqoslamaga 
qo`yib 
 
 
  ni  aniqlaymiz:
           
 
                  
 
               
                     ⋮    bo`lgani  uchun  taqqoslamani  3  ga  qisqartirib     
 
 
           ni,bundan esa   
 
               
 
              
 
          , 
ya`ni 
 
 
        
 
   
 
    ni hosil qilamiz. Shunday qilib                    
 
   
          
 
,  ya`ni 
              
 
   
 
    berilgan  sistemaning  yechimiga  ega 
bo`lamiz. 
2).
                                              
 
   
 
    .  Buni  ikkinchi 
taqqoslamaga 
qo`yib, 
 
 
ni 
aniqlaymiz:
       
 
                
 
 
              
 
                     
 
                 
 
 
            ,  ya`ni   
 
          
 
   
 
      
 
ning  bu  qiymatini 
           
 
  ga 
qo`yamiz,  u  holda 
                   
 
              
 
.  Endi 
   ning  bu 
qiymatini  3-taqqoslamaga  qo`yib, 
 
 
  ni  topamiz: 
          
 
              
    
 
               Bunda                 va     ⋮  .  Shuning  uchun  ham  bu 
taqqoslamani 
  ga qisqartirib,    
 
           ni yoki bundan  
 
           ni 
hosil  qilamiz.  Demak, 
 
 
        
 
   
 
  .  Shunday  qilib                   
  
 
               
 
    
 
  . 
3).
{
              
             
             
                   
 
    
 
            
 
             
   
 
             .  Bunda                va     ⋮  ,  shuning  uchun  ham  oxirgi 
taqqoslamaning  ikkita  tomoni  va  modulini  8  ga  qisqartirilib,   
  
 
             
 
 
          , ya`ni   
 
        
 
   
 
    ni hosil qilamiz . Buni             
 
, ga 
qo`ysak 
                  
 
             
 
  kelib  chiqadi. 
  ning bu qiymatini 3-
taqqoslamaga  qo`yib, 
 
 
  ni  aniqlaymiz. 
         
 
                  
 
 
                
 
                            va    ⋮      bo`lgani  uchun 
  
 
               
 
             ya`ni   
 
         
 
      
 
  .  Shunday  qilib 
              
 
    
 
   ni hosil qilamiz . 

---

 
 
158 
 
4).
{
            
             
             
                 
 
    
 
          
 
                
 
 
               
 
                            
 
                
 
 
          ya`ni  
 
         
 
   
 
     Bundan                  
 
        
   
 
      ning bu qiymatini 3-taqqoslamaga qo`yib  
 
 ni aniqlaymiz:
        
 
 
               
 
                      
 
               Bunda 
              va     ⋮   bo`lgani uchun    
 
            ,  yoki bundan 
  
 
              
 
             ya`ni  
 
    
 
    
 
  . Buni             
 
 ga 
qo`yib, 
                
 
           
 
ni, ya`ni 
             
 
   
 
   ni hosil 
qilamiz . 
5). 
                            
 
    
 
                             
               
 
     
 
                          
 
                 
 
 
                                       ⋮                    
 
            
  
 
              
 
            ya`ni  
 
        
 
   
 
      ning bu qiymatini 3-
taqqoslamaga qo`yib 
 
 
 ni aniqlaymiz: 
                  
 
            
 
   Buni 3-
taqqoslamaga  olib  borib  qo`yib, 
 
 
  ni  topamiz. 
        
 
                 
 
 
              Bunda                ⋮      bo`lgani  uchun  bo`lgani  uchun 
taqqoslamaning  ikkala  tomoni  va  modulini  2  ga  qisqartirib, 
   
 
             ni, 
yoki  bundan 
   
 
               
 
          , ya`ni  
 
        
 
    
 
    ga 
ega  bo`lamiz.    Demak, 
            
 
                
 
             
 
  ya`ni 
             
 
    
 
    ni hosil qilamiz. 
6).
            
 
          
 
                  
 
           . 
Bundan 
            ,  lekin  1  soni  5  ga  bo`linmaydi.  Demak  taqqoslamalar  sistemasi 
yechimga ega emas . 
7). 
          
 
   
 
                                             
  
 
     
 
                        
 
               
 
              
 
 
            
 
        
 
    
 
    Demak,                
 
        
   
 
   
 
                                           
 
                
        
 
                 
 
                  
 
            . 
Bunda   
            va  lekin  1  soni  3  ga  bo`linmaydi.  taqqoslamalar  sistemasi 
yechimga ega emas.  
8).
            
 
           
 
                
 
                
 
 
          bunda              ,  lekin  5  soni  8  ga  bo`linmaydi  shuning  uchun  ham 
taqqoslamalar sistemasi yechimga ega emas. 
9).
            
 
   
 
   .                                        
  
 
      
 
                      
 
               
 
             
Bunda 
            va    ⋮   bo`lgani  uchun  oxirgi  taqqoslamani  5  ga  qisqartirib    
 
 

---

 
 
159 
 
         doimo  bajariladigan  taqqoslamaga  ega  bo`lamiz.  Demak,   
 
   
 
  deb 
olish mumkin, u holda 
           
 
 ni hosil qilamiz, buni 3-taqqoslamaga qo`ysak, 
       
 
                
 
              
 
            ya`ni 
 
 
     
  
 
   
 
   . Bundan              
 
               
 
            
 
,
 
 
    ni hosil 
qilamiz.  
10).
                                         
 
   
 
 
                                             
 
      
 
                      
 
 
              
 
                
 
                          
 
 
           ya`ni   
 
         
 
   
 
       Buni            
 
  ga  olib  borib  qo`ysak, 
                 
 
            
 
. 
   ning  bu  qiymtini  3-taqqoslamaga  qo`ysak, 
        
 
                 
 
                              
 
 
                          
 
                
 
               
 
     
   
 
     
 
     Shunday  qilib                     
 
               
 
   
 
  .  Ya`ni 
               
 
   
 
   berilgan sistemaning yechimi . 
11). Bu sistеmadagi har bir taqqoslama  alohida-alohida  x  ga nisbatan yеchilgan 
holda    bеrilgan.  Shuning  uchun  ham  1-taqqoslamaning  yеchimlari 
       
  
 
    
 
Z

larning  orasidan  2-  taqqoslamani  qanoatlantiruvchilarini  ajratib  olamiz. 
Buning  uchun              
 
  ni  2-taqqoslamaga  qo‘yib, 
 
 
  ni  aniqlaymiz: 
1
1
1
2
5
8(mod11)
5
6(mod11)
5
5(mod11),
t
t
t





 
 
1
1
2
2
1(mod11),
1 11 ,
.
t
t
t
t
Z
 
  

1
t
ning topilgan ifodasini 
  ga olib borib 
qo‘yamiz. U holda 
 =2+5(-1+11
2
t
)=-3+
2
55 ,
t
ya‘ni
2
3
55 ,
x
t
  
2
t
Z

    ga ega 
bo‘lamiz.  
 ning bu ifodasini 3-taqqosslamaga olib borib qo‘yib,
2
t
  ni aniqlaymiz.
2
2
2
3
55
12(mod15)
55
15(mod15)
10
0(mod15)
t
t
t
 





 
 bunda (10,15)
5

 
bo‘lganidan 
 
2
2
2
0(mod 3)
    
0(mod 3),
t
yoki
t


   
bundan       
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
3
15 ,
3 15 ,
6 15 ,
9 15 ,
12 15 ,
t
t t
t t
t t
t t
t t
Z

 
 
 



    
larni hosil qilamiz . U holda berilgan sistemaning yechimlari: 
1
3
3 825 ,
x
t
  
 
2
3
3
3
4
3
5
3
162 825 ,
327 825 ,
492 825 ,
657 825 ,
x
t x
t x
t x
t








3
t
Z

  
ga ega bo‘lamiz. 
268.1).  Bizning  misolimizda 
 
 
       
 
      
 
    ,   
 
       
 
     
 
 
       ( 
 
 
 
 
 
)    
 
       
 
       
 
       
 
 
 larni   
 
 
 
 
         
 
       
              taqqoslamadan  aniqlaymiz.     
 
 
              
 
 
            
  
 
 
                           
 
 
            
Demak, 
 
 
 
         
 
 
 
             
 
 
               
 
 
               
 
 
           ; 
 
 
 
    ;   
   
 
 
                 
 
 
                
 
 
              
 
 
      deb 
olishimiz  mumkin.  Endi 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
(1)  formuladan 
 
 
  ni 

---

 
 
160 
 
aniqlaymiz. 
 
 
                                                                 
    . Demak, sistemaning yechimi                                   
2). 
Avvalo 
berilgan 
                                            
taqqoslamalarni 
  ga nisbatan yechib olamiz. U holda 
 
{
            
            
             
 sistemaga ega bo`lamiz va bu sistemani   
1-misoldagi singari mulohaza yuritib yechamiz. Bunda 
          
 
        
 
 
      
 
       
 
      
 
      
 
       
 
 
 larni aniqlaymiz.
    
 
 
            
  
 
 
              
 
 
   ;    
 
 
               
 
 
              
 
 
    ; 
   
 
 
                
 
 
               
 
 
   ; Endi  
 
 ni aniqlaymiz. 
 
 
                                                                     va 
                                 Demak, berilgan sistemaning yechimi 
                 
4)  2-misoldagi 
singari 
mulohaza 
yuritib, 
berilgan 
sistemaning 
                                            ko`rinishga keltirib olamiz. Bunda 
 
 
       
 
      
 
    va 
          
 
       
 
        
 
       
 
    
 
 
       
 
          
 
 
   
 
 
   
 
 
  larni  aniqlaymiz. 
   
 
 
                 
 
 
 
               
 
 
                          
 
 
                
 
 
    ; 
    
 
 
               
 
 
              
 
 
   . 
   
 
 
               
 
 
                
 
 
    .  
Bularga asosan  
 
 
                                                                         . 
Demak, berilgan sistemaning yechimi 
                . 
5)  Yuqoridagi misollar singari mulohaza yuritib, berilgan sistemani 
             
                             ko`rinishiga keltirib olamiz. Bunda  
 
 
    
 
       
 
     va             
 
        
 
        
 
        
 
    
 
 
      
 
         
 
 
   
 
 
   
 
 
 larni aniqlaymiz.
    
 
 
               
 
 
 
            
 
 
               
 
 
    ;   
 
 
                
 
 
 
               
 
 
               
 
 
               
 
 
   .    
 
 
 
               
 
 
                
 
 
                
 
 
   . Bularga 
asosan  
 
 
                                                                        . 
Demak, berilgan sistemaning yechimi 
                                 . 
    {
              
              
               
  {
             
             
             
. 

---

 
 
161 
 
Bundan 
 
 
       
 
       
 
     va             
 
        
 
        
 
 
      
 
      
 
       
 
      
 
 
   
 
 
   
 
 
 
larni 
aniqlaymiz.  
    
 
 
                             
 
 
                 
 
 
             
   
 
 
                 
 
 
               
 
 
    ;    
 
 
            
     
 
 
                 
 
 
   ;    
 
 
                         
    
 
 
                 
 
 
                 
 
 
   . Endi  
 
 ni aiqlaymiz. 
 
 
                                                                      
      va demak                                                     
          . Shunday qilib,                  berilgan sistemaing yechimi. 
    {
              
              
              
  {
             
            
              
.  
Bundan 
 
 
       
 
      
 
     va             
 
        
 
        
 
 
      
 
      
 
      
 
          
 
 
   
 
 
   
 
 
 
larni 
aniqlaymiz.
    
 
 
                             
 
 
               
 
 
 
              
 
 
    ;    
 
 
                            
 
 
 
             
 
 
    ;    
 
 
                             
 
 
 
              
 
 
                
 
 
                          
 
 
 
              
 
 
    . Endi  
 
 ni aiqlaymiz. 
 
 
                                                                      
           .  
Demak, 
                                  ,  ya`ni                   
berilgan taqqoslamalar sistemasi yechimi. 
    {
                
              
             
   {
                
                
              
          {
              
              
            
.  
Bundan 
 
 
       
 
       
 
    va              
 
        
 
         
 
 
      
 
       
 
       
 
        
 
 
   
 
 
   
 
 
 
larni 
aniqlaymiz.
   
 
 
                
 
 
                
 
 
          
               
 
 
    ;    
 
 
                              
 
 
 
              
 
 
                 
 
 
                
 
 
 
              
 
 
    ;    
 
 
                            
 
 
 
             
 
 
              
 
 
   .  Endi   
 
  ni  aniqlaymiz.
 
 
             
                                                                  .  Demak, 
                                    berilgan  taqqoslamalar  sistemasining 
yechimi.  

---

 
 
162 
 
    {
                
              
             
  {
             
            
             
.  
Bundan 
 
 
       
 
      
 
     va             
 
       
 
        
 
 
      
 
      
 
      
 
      
 
 
   
 
 
   
 
 
 
larni 
aniqlaymiz.
   
 
 
             
              
 
 
                
 
 
                
 
 
          
                
 
 
                
 
 
    ;      
 
 
                   
         
 
 
              
 
 
   ; 
    
 
 
                         
    
 
 
               
 
 
    . Bulardan foydalanib,   
 
 ni topamiz. 
 
 
                                                                         
Demak   
                     berilgan sistemaning yechimi.  
    {
             
              
              
  {
             
              
             
.  Bundan 
 
 
       
 
       
 
 
   va 
           
 
        
 
        
 
        
 
      
 
       
 
 
    
 
 
   
 
 
   
 
 
 larni aniqlaymiz. 
    
 
 
                  
 
 
                  
 
 
              
  
 
 
                 
 
 
                 
 
 
                
 
 
 
             
 
 
                
 
 
   ;    
 
 
             
                
 
 
                 
 
 
                          
 
 
 
  ;    
 
 
                              
 
 
                 
 
 
 
              
 
 
    .  Endi   
 
  ni  aiqlaymiz.
 
 
                               
                                                    .  
Demak, 
                                      berilgan  taqqoslamalar 
sistemasining yechimi  bo`ladi. 
     {
              
              
              
  {
             
              
             
.  
Bundan 
 
 
       
 
       
 
     va             
 
        
 
        
 
 
      
 
      
 
       
 
      
 
 
   
 
 
   
 
 
  larni  aniqlaymiz.
     
 
 
             
                
 
 
                
 
 
                
 
 
             
 
 
 
   ; 
    
 
 
                              
 
 
                 
 
 
 
               
 
 
                
 
 
                
 
   ; 
    
 
 
                              
 
 
                
 
 
 
              
 
 
                 
 
 
               
 
 
              
 
 
 
    .  Endi   
 
  ni  aniqlaymiz.
   
 
                                           

---

 
 
163 
 
                                 .  Bundan                         
                berilgan sistemaning yechimi ekanligi kelib chiqadi. 
      Bu  yerda   
 
      
 
      
 
     va            
 
       
 
     
 
 
       
 
      
 
      
 
    Endi  
 
 
   
 
 
   
 
 
  larni aniqlaymiz.  
   
 
 
                          
 
 
              
 
 
              
 
 
 
 ;   
 
 
                          
 
 
               
 
 
            
  
 
 
               
 
 
              
 
 
   ;   
 
 
             
              
 
 
                 
 
 
                 
 
 
              
 
 
 
                
 
 
               
 
 
   . Endi  
 
 ni aniqlaymiz.
 
 
 
                                                               Bundan    
                            berilgan sistemaning yechimi ekanligi kelib 
chiqadi. 
         Bu masala taqqoslamaning ta'rifiga ko‘ra shunday   ni topishimiz kеrakki, 
u   
{
            
            
            
  taqqoslamalar sistеmasini qanoatlantiruvchi  eng kichik natural 
son    bo‘lishi  kеrak.  Bеrilgan  sistеmani  yеchamiz.  Buning  uchun  bizga  bеrilgan 
sistеmada  modullar  o‘zaro  tub  bo‘lganligi  sababli  2–misoldagi  (1)  formuladan 
foydalansak  bo‘ladi.  Bizda 
 
 
      
 
      
 
    va                        
 
 
     
 
       
 
        
 
      
 
      
 
      
 
 
   
 
 
   
 
 
 
larni 
aniqlaymiz.
   
 
 
               
 
 
              
 
 
   ;    
 
 
 
             
 
 
              
 
 
                
 
 
    ;   
 
 
 
             
 
 
               
 
 
              
 
 
   .  
Bulardan foydalanib,  
 
 
 ning qiymatini  aniqlaymiz: 
 
 
                                                               .  
Demak, 
                               ,  ya`ni                        
berilgan  berilgan  sistemaning  umumiy  yechimi.  Endi  shular  orasidan 
   ning  eng 
kichik  natural  son  bo`ladigan  qiymatini  aniqlab  olamiz.  Agar 
       bo`lsa,        
bo`ladi; 
      da         izlanyotgan qiymatga ega bo`lamiz. 
    {
            
            
            
   bundan  
 
 
      
 
       
 
       
 
       
 
       
 
              
 
        
 
 
      
 
        
 
 
   
 
 
   
 
 
larni aniqlaymiz. 
   
 
 
               
 
 
              
 
 
              
 
 
   ; 
   
 
 
               
 
 
              
 
 
               
 
 
    ; 
   
 
 
               
 
 
              
 
 
              
 
 
   . Endi    
 
 
ni    topamiz. 
 
 
                                                               . 

---

 
 
164 
 
Demak,  sistemaning  umumiy  yechimi 
               ,  yoki  buni     
          ,  ya`ni              ,       ko`rinishida  yozish  mumkin.  Bundan 
izlanayotgan eng kichik natural qiymat 
   ga teng ekanligi kelib chiqadi. 
    {
            
             
             
   dan   
 
       
 
      
 
      
 
       
 
       
 
 
               
 
        
 
         
 
       
 
 
   
 
 
   
 
 
 larni aniqlaymiz.
  
    
 
 
                            
 
 
               
 
 
             
  
 
 
              
 
 
              
 
 
   ;    
 
 
             
                
 
 
                
 
 
               
 
 
   ;   
 
 
 
                          
 
 
               
 
 
               
 
 
    . 
Endi 
 
 
 ni  topamiz. 
 
 
                                                           
          . Bu holda umumiy yechim                    
               ,  ya`ni                       .    Bundan  eng  kichik  natural 
yechim 
       .  
    {
            
             
             
   bu  sistema  3-misoldagi  sistemadan   
 
   
 
   
 
  ning 
qiymatlari  bilan  farq  qiladi.  Shuning  uchun  ham 
 
 
         
 
         
 
     
 
, 
ya`ni 
 
 
                                                         va     
                                 ya`ni  sistemaning  umumiy  yechimi     
                . Eng kichik natural yechim        . 
    {
            
            
            
   dan   
 
      
 
       
 
       
 
       
 
       
 
    
           
 
        
 
        
 
        
 
 
   
 
 
   
 
 
larni 
aniqlaymiz.
    
 
 
 
             
 
 
              
 
 
              
 
 
   ;   
 
 
 
             
 
 
               
 
 
               
 
 
              
 
 
 
 ;   
 
 
                
 
 
              
 
 
               
 
 
    . 
Shuning  uchun  ham   
 
 
                                                       
           va                                  sistemaning  umumiy  yechimi. 
Endi 
                   dan eng kichik natural sonni aniqlaymiz.       da        
izlanayotgan son. 
    {
            
             
             
  dan  
 
      
 
      
 
      
 
      
 
        
 
     
                         
 
        
 
        
 
         
 
 
   
 
 
   
 
 
 
larni 
aniqlaymiz. 
    
 
 
                            
 
 
               
 
 
 

---

 
 
165 
 
            
 
 
              
 
 
   ;    
 
 
                         
    
 
 
                
 
 
                
 
               
 
 
 
 ;   
 
 
                            
 
 
                
 
 
 
               
 
 
               
 
 
   .  Bulardan  foydalanib,         
 
  ni  
topamiz. 
 
 
                                                                   . 
Demak, 
                                                                , ya`ni 
                      taqqoslamalar sistemasining umumiy yechimi. Bu holda eng 
kichik natural yechim 
    dan iborat. 
7). 
{
              
              
              
 bo‘lgani uchun 
 
 
      
 
      
 
        
 
        
 
 
     
 
                     ,  
 
         
 
        
 
       Endi bulardan 
foydalanib,  
 
 
 
   
 
 
   
 
 
                  
483
 
 
 
                            ) 
 
 
 
                
 
 
 
              
 
 
               
 
 
   ;  299 
 
 
                         
    
 
 
                
 
 
                 
 
 
                
 
 
 
         
 
 
                              
 
 
                 
 
 
 
             
 
 
                
 
 
      
Bulardan foydalanib, 
 
 
 ni topamiz. 
 
 
                                      
                                                              
Demak, 
 
 
                 ya`ni                        taqqoslamalar 
sistemasining umumiy yechimi. Eng kichik natural yechim 841 ga teng. 
8).
{
           
           
           
 dan 
 
 
       
 
       
 
       
 
      
 
       
 
     deb 
olishimiz mumkin. Bu holda 
       , 
 
        
 
        
 
      Endi 
 
 
 
   
 
 
   
 
 
 larni aniqlaymiz: 40
 
 
 
              
 
 
              
 
 
 
      
 
 
               
 
 
              
 
 
               
 
 
 
   15 
 
 
              
 
 
             
 
 
              
 
 
      
topilganlardan foydalanib 
 
 
 ni hisoblaymiz. 
 
 
                                                                          
Demak, 
                            ,  ya`ni                       
taqqoslamalar 
sistemasining 
umumiy 
yechimi. 
Bundan 
masala 
shartini 
qanoatlantiradigan eng kichik natural son 
   ekanligi kelib chiqadi. 

---

 
 
166 
 
 
9). 
{
           
           
           
,  bundan  ko‘rinadiki,  bu  sistema  8-misoldagi  sistemadan 
faqat 
 
 
   
 
    
  
larning  qiymatlari  bilan  farq  qiladi.    Shuning  uchun  ham  8-misolda 
qarab  chiqilganiga  asosan 
 
 
     
 
     
 
     
 
                            
                      va 
                                
           qaralayotgan taqqoslamalar sistemasining yechimi                   
   bo‘lganligi  uchun  masala  shartini  qanoatlantiruvchi    eng  kichik  natural  son     
bo‘ladi. 
10).  
{
            
            
            
, bo‘lgani uchun 
 
 
       
 
       
 
    deb olishimiz 
mumkin. Bizda 
 
 
      
 
      
 
                
 
       
 
       
 
=35. 
Endi  
 
 
 
   
 
 
   
 
 
 larni aniqlaymiz. 
63
 
 
 
              
 
 
             
 
 
             
 
 
     
45
 
 
 
              
 
 
              
 
 
             
 
 
      
35
 
 
 
              
 
 
             
 
 
             
 
 
      
Bularga asosan 
 
 
                                                           
                                               
Shunday qilib izlanayotgan natural son
     dan iborat. 
11).  Bu masala taqqoslamaning ta'rifiga ko‘ra shunday 
  ni topishi-miz kеrakki, u   
{
            
              
             
 taqqoslamalar sistеmasini qanoatlantiruvchi  eng kichik natural 
son  bo‘lishi kеrak. Bеrilgan sistеmani yеchamiz. Buning uchun bizga bеrilgan 
sistеmada modullar o‘zaro tub bo‘lganligi sababli 2 – misolda (1) formuladan 
foydalansak bo‘ladi. Bizda 
 
 
      
 
       
 
                  
 
       
 
 
     
 
=35.  6-misolga asosan 
 
 
         
 
         
 
         
 
                                        
     .  
Demak, 
                                  , 
ya`ni 
          
             taqqoslamalar  sistemasining  umumiy  yechimi.  Bu  holda  eng  kichik 
natural yechim 
     dan iborat. 
    1).   ning  izlanayotgan qiymatini aniqlash uchun sistemani yechishga harakat 
qilamiz. Bunda 1 – misolda tanlangan usuldan foydalanishimiz mumkin. 

---

 
 
167 
 








),
35
(mod
)
21
(mod
8
)
18
(mod
5